Seja A um conjunto com 20 elementos distintos. Prove
que o número de subconjuntos de A é 2.20
é elevado vigésima potencia, não vezes 20
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Se um dado conjunto A possui n elementos distintos, então é dito que que ele possui 2^n subconjuntos.
Se n = 0, então A possuirá 2^0 = 1 subconjunto, que é o conjunto vazio. Verdadeiro
Se n = 1, então A possuirá 2^1 = 2 subconjuntos, o vazio e ele próprio. Verdadeiro.
Suponhamos que para n = t, o número de subconjuntos de A seja 2^t. Agora precisamos mostrar que isto é verdadeiro para n = t + 1.
Como para n = t temos como verdade que A possui 2^t subconjuntos (hipótese), é como foi mostrado que para n = 1, é verdadeiro que A possui 2 subconjuntos, o vazio e ele próprio, então, por indução sobre t, teremos que
2^t.2^1 = 2^(t+1), ou seja, A possuirá 2^(t+1) subconjuntos, c.q.d.
Portanto, como A possui 20 elementos distintos, logo terá 2^20 subconjuntos.