Question

Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é

Answer 1

Observe o diagrama em anexo para melhor compreensão:

O conjunto $A-B$ é um subconjunto de $A$, formado pelos elementos de $A$ que não são elementos de $B$. Disso, podemos escrever

$\bullet\;\;A-B \subset A\\ \\ \bullet\;\;\left(A-B \right ) \cap B=\varnothing$

A última sentença diz que os conjuntos $A-B$ e $B$ são disjuntos, pois a interseção é o conjunto vazio.


Como $B \subset A$, podemos afirmar também que $A-B$ é o complemento do conjunto $B$ em relação ao conjunto $A$.


Usarei a notação $\mathrm{n}$ para representar o número de elementos de um determinado conjunto (cardinalidade do conjunto).

Do enunciado, temos

$\mathrm{n}\left(A \right )=14\text{ elementos}\\ \\ \mathrm{n}\left(B \right )=6\text{ elementos}$


Como $B$ está contido em $A$, então temos que

$\mathrm{n}\left(A \right )=\mathrm{n}\left(A-B \right )+\mathrm{n}\left(B \right )\\ \\ 14=\mathrm{n}\left(A-B \right )+6\\ \\ \mathrm{n}\left(A-B \right )=14-6\\ \\ \mathrm{n}\left(A-B \right )=8\text{ elementos}$


Os subconjuntos de $A$, que são disjuntos de $B$, são todos os subconjuntos de $A-B$.


De quantas formas diferentes podemos combinar os elementos do conjunto $A-B$, até formar subconjuntos com, no máximo, $6$ elementos? Aqui, entra o cálculo de combinações simples dos $8$ elementos do conjunto $A-B$.
.

O número de subconjuntos de $A-B$, formados por exatamente $k$ elementos deste conjunto é dado por

$\dbinom{8}{k}=\dfrac{8!}{k!\cdot \left(8-k \right )!}$

onde $0 \leq k \leq 6$,


O total de subconjuntos procurado é dado pelo seguinte somatório:

$\dbinom{8}{0}+\dbinom{8}{1}+\dbinom{8}{2}+\dbinom{8}{3}+\dbinom{8}{4}+\dbinom{8}{5}+\dbinom{8}{6}\\ \\ =\underset{k=0}{\overset{6}{\sum}}\dbinom{8}{k}\\ \\ =\underset{k=0}{\overset{8}{\sum}}\dbinom{8}{k}-\dbinom{8}{8}-\dbinom{8}{7}$


Sabendo que

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}\dbinom{n}{k}=2^{n}$

temos então que

$\underset{k=0}{\overset{8}{\sum}}\dbinom{8}{k}-\dbinom{8}{8}-\dbinom{8}{7}\\ \\ =2^{8}-\dbinom{8}{8}-\dbinom{8}{7}\\ \\ =256-1-8\\ \\ =247\text{ subconjuntos}$


Logo, o tem-se $247$ subconjuntos de $A$, disjuntos de $B$, com um número de elementos menor ou igual a $6$.

Answer 2

Resposta:

2^8-9

Explicação passo-a-passo:

pra responder essa questão tem que usar combinatória, quando ele diz '' disjuntos de B'' significa que nenhum dos subconjuntos pedidos pode ter elemento de B, como B é subconjunto de A, e tem 6 elemento, basta retirar esses 6 elemento para achar a resposta.

Então temos a nossa disposição 8 elementos.

A quantidade de subconjuntos é :

2^n=2^8

porém, é pedido subconjuntos com 6 ou menos elementos, ou seja, devemos excluir aqueles que tem 7 e 8 elementos.

Da combinatória temos, que o número de conjuntos com 7 elementos é :

C {8,7}

e o de 8 elementos é :

C {8,8}=1

C{8,7} + C{8,8}=9

portanto a resposta é :  2^8-9