Question

Seja A um anel e a € A.Prove I={ x € A: x • a =0} é um ideal a esquerda.
Obs: €= Pertence

Answer 1

Antes de fazer a demonstração, vamos relembrar o que é um ideal à esquerda.

Ideal à esquerda

Definição. Sejam A um anel e I um subconjunto não vazio de A. Diz-se que I é um ideal de A à esquerda se:

(i) a - b ∈ I para quaisquer a, b ∈ I;

(ii) a · i ∈ I para todo a ∈ A e para todo i ∈ I.

Assim para provarmos o que se pede nesta questão, basta que verifiquemos as duas condições acima para o conjunto I = {x ∈ A : x · a = 0}.

Condição (i):

Sejam x, y ∈ I. Desse modo, temos x · a = 0 e y · a = 0. Subtraindo a segunda igualdade da primeira, decorre que:

$\Large\begin{gathered}x\cdot a-y\cdot a=0-0\implies\\\\\implies x\cdot a-y\cdot a=0\end{gathered}$

Como x, a ∈ A e A é um anel, vale a distributividade. Daí, temos:

$\Large\begin{gathered}x\cdot a-y\cdot a=0\implies\\\\\implies(x-y)\cdot a=0\end{gathered}$

Logo, (x - y) ∈ I.

Condição (ii):

Sejam z ∈ A e i ∈ I. Desse modo, i · a = 0. Consequentemente, temos:

$\Large\begin{gathered}z\cdot(i\cdot a)=z\cdot0=0.\end{gathered}$

Como A é um anel, a multiplicação é associativa.

$\Large\begin{gathered}z\cdot(i\cdot a)=0\implies\\\\\implies(z\cdot i)\cdot a=0\end{gathered}$

Portanto, z · i ∈ I.  

Verificadas as duas condições, está provado que o conjunto I dado é um ideal de A à esquerda.

Se houver dúvidas, comente.

Espero ter ajudado!