Question

Seja a transformação linear T: R2 ⟶ R2 definida por T(x, y) = (x − 3y, 2x + 5y, 2x) e as bases

A = {(2, −1), (−1, −2)} do R2 e B = {(0,0,1), (0,1, −1), (1,1,0)} do R3


. Determinar a matriz [T]AB

Answer 1

A matriz $[T]^A_B$ é a matriz cujas colunas são as transformações dos elementos de $A$ escritos na base $B$. Vamos inicialmente calcular as transformações dos elementos de $A$:

$T(2,-1)=(2-3\cdot(-1),2\cdot2+5\cdot(-1),2\cdot2)=(5,-1,4)$

$T(-1,-2)=(-1-3\cdot(-2),2\cdot(-1)+5\cdot(-2),2\cdot(-1))=(5,-12,-2)$

Devemos agora reescrever estes resultados na base $B$. Considerando um vetor qualquer $(x,y,z)$ do $\mathbb{R}^3$, temos que $(x,y,z)]_B=(a_1,a_2,a_3)$, onde $a_{1,2,3}$ são números reais tais que:

$(x,y,z)=a_1(0,0,1)+a_2(0,1,-1)+a_3(1,1,0)$

$(x,y,z)=(0,0,a_1)+(0,a_2,-a_2)+(a_3,a_3,0)$

$(x,y,z)=(a_3,a_2+a_3,a_1-a_2)$

Daí tiramos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}x=a_3\\y=a_2+a_3\\z=a_1-a_2\end{matrix}\right.$

Da 1º equação tiramos que $a_3=x$. Da 2º, $a_2+x=y\therefore a_2=y-x$ e da 3º $a_1-(y-x)=z\therefore a_1=-x+y+z$, concluindo assim que $(x,y,z)]_B=(-x+y+z,y-x,x)$.  Dessa forma, temos que:

$T(2,-1)]_B=(5,-1,4)]_B=(-5-1+4,-1-5,5)=(-2,-6,5)$

$T(-1,-2)]_B=(5,-12,-2)]_B=(-5-12-2,-12-5,5)=(-19,-17,5)$

Concluindo assim que:

$[T]^A_B=\begin{bmatrix}-2 &-19 \\ -6 &-17 \\ 5 &5 \end{bmatrix}$