Question

seja a série de potências ∑ xn/n³+1. Qual é o conjunto de pontos os quais a série converge?

Alternativas
Alternativa 1:
A sequência diverge

Alternativa 2:
Se |x|>1, então a série diverge.

Alternativa 3:
Se |x|>1, então a série converge.

Alternativa 4:
Se |x|<1, então a série converge.

Alternativa 5:
Se |x|<1, então a série diverge.

Answer 1

Utilizando o teste da razão, temos que para esta séria ser convergente basta que |x| < 1, Alternativa 4.

Explicação passo-a-passo:

Uma das formas de analisarmos a convergencia desta séria é utilizar o teste da razão, dado por:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{A_{n+1}}{A_n}\right|<1$

Se esta equação acima for verdadeira então a séria é de fato convergente, assim para isso vamos fazer estes limites:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)^3+1}}{\frac{x^n}{n^3+1}}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{n^3+3n^2+3n+2}}{\frac{x^n}{n^3+1}}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{\frac{x^{n+1}}{x^n}}{\frac{n^3+1}{n^3+3n^2+3n+2}}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|x^{n+1-n}{\frac{n^3+1}{n^3+3n^2+3n+2}}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|x\frac{n^3+1}{n^3+3n^2+3n+2}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|x\frac{n^3}{n^3}{\frac{1+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}}\right|<1$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|x\frac{1+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}\right|<1$

Fazendo este limites, todas as frações sobre n tendem a 0, então:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\left|x\frac{1+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n^3}}\right|<1$

$\left|x{\frac{1+0}{1+0+0+0}\right|<1$

$\left|x\right|<1$

Assim temos que para esta séria ser convergente basta que |x| < 1, Alternativa 4.