Question

Seja a sequência uma PA (2, 5, 8, ...), calcule: a) O 8º termo. b) A soma dos 10 primeiros termos.

Answer 1

Vamos calcular a razão da PA

Razão da PA ( r )
an = ak + ( n - k ) *r
2 = 5 + ( 1 - 2 ) * r
2 = 5 - 1 * r
2 - 5 = -1 * r
-3 / -1 = r
r = 3
========================================================
Com a razão calculamos o 8º termo
a)
an = a8 + ( n - k ) *r
2 = a8 + ( 1 - 8 ) * 3
2 = a8 + (-7 ) * 3
2 = a8 - 21
2 + 21 = a8 
a8 = 23

O 8º termo da PA = 23

=========================================================
b)
Para a soma precisamos encontrar o 10º termo

an =   a1 + ( n -1 ) * r
a10 =  2 + ( 10 -1 ) * 3
a10 =  2 + 9 * 3
a10 =  2 + 27
a10 =  29

Com o 10º termo calculamos a soma dos 10 primeiros termos.

Sn = ( a1 + an ) * n /  2  
Sn = ( 2 + 29 ) * 10 /  2   
Sn = 31 * 5  
Sn = 155

Soma dos 10 primeiros termos = 155

Answer 2

a (n): termo que queremos encontrar
a₁: primeiro termo, no caso 2
r: razão, de quanto em quanto vai aumentando ou diminuindo o termo seguinte da progressão, no caso 3. Para achar a razão de uma PA pegamos um termo da progressão e subtraímos pelo anterior:
$r = 5 - 2 \\ r = 3$

Veja que para qualquer um da sequência que seguir os passos  você encontrará 3 como resposta, no caso.

S(n): soma dos primeiros termos de uma sequência, podendo ser de uma PA ou PG (são fórmulas diferentes)

Para calcular um termo de uma PA usamos a seguinte fórmula:
$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ a _{8} = 2 + (8 -1)*3 \\ a _{8} = 2 + 7 *3 \\ a_{8} = 2 + 21 \\ a _{8} = 23$

Para calcular a soma de termos de uma PA usamos a seguinte fórmula:
$S_{n} = \frac{(a _{1} + a _{n})n}{2} \\ \\ S _{10} = \frac{(2 + a _{10})*10}{2}$

Vemos que está faltando o a₁₀, vamos encontrá-lo do mesmo jeito que encontramos o a₈.
$a_{n} = a_{1} + (n-1)r \\ a _{10} = 2 + (10 -1)*3 \\ a _{10} = 2 + 9 *3 \\ a_{10} = 2 + 27 \\ a _{10} = 29$
Encontrado, podemos continuar o cálculo:
$S _{10} = \frac{(2 + a _{10})*10}{2} \\ \\ S _{10} \frac{(2 + 29)*10}{2} \\ \\ S _{10} = \frac{31*10}{2} \\ \\ S _{10} = \frac{310}{2} \\ \\ S_{10} = 155$

A soma dos 10 primeiros termos da PA de razão 3 e a₁ = 2 é 155.