Seja a sequência definida pelo termo geral An=3^n/6, n pertence N* a) calcule a soma de seus três primeiros termos; b) Quantos termos devemos somar na sequência afim de obter soma igual a 14762?
Soluções para a tarefa
a.
3¹/6 = 3/6
3²/6 = 9/6
3³/6 = 27/6
(3 + 9 + 27)/6
39/6 = 13/2
b.
3/2 * 2/1
3
14762 = 1/2 * [3ⁿ -1]/(3 -1)
14762 = (3ⁿ -1)/4
14762 * 4 + 1 = 3ⁿ
59049 = 3ⁿ
3¹⁰ = 3ⁿ
10 = n
10 termos
Vamos lá.
Veja, PedroInacio, que a resolução parece simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Tem-se: seja a sequência definida pelo termo geral a ̪ = 3ⁿ / 6, com "n" pertencente aos N* (ou seja aos Naturais sem incluir o zero). Dada essa informação são pedidas as seguintes informações:
a) Calcule a soma de seus três primeiros termos.
b) Quantos termos devemos somar na sequência a fim de obter soma igual a 14.762.
ii) Vamos iniciar pela questão do item "a", que pede a soma dos três primeiros termos.
a) Veja: vamos começar dando valores de "1" até "3" para encontrar os valores dos três primeiros termos e depois encontrar qual é a soma desses três primeiros termos. Assim teremos:
- para n = 1, temos:
a₁ = 3¹/6
a₁ = 3/6 ---- simplificando tudo por "3", ficaremos com:
a₁ = 1/2 <--- Este é o valor do 1º termo.
- para n = 2, temos:
a₂ = 3²/6
a₂ = 9/6 ---- simplificando tudo por "3", ficaremos com:
a₂ = 3/2 <--- Este é o valor do 2º termo.
-para n = 3, temos:
a₃ = 3³/6
a₃ = 27/6 ----- simplificando-se tudo por "3", teremos:
a₃ = 9/2
Assim, como você viu, os três primeiros termos formam uma PG de razão (q) igual a "3", pois a razão de uma PG é obtida pela divisão de cada termo subsequente pelo seu respectivo antecedente, ou seja, deveremos ter que: a₃/a₂ = a₂/a₁ = q ------- Note que isto ocorre quando fazemos isto:
(9/2)/(3/2) = (3/2)/(1/2) = 3. Note que (9/2(/(3/2) = 3 e (3/2)/(1/2) = 3.
Agora vamos à soma pedida desses três termos. Como são bem poucos os termos, então vamos efetuar a soma diretamente (sem aplicar a fórmula). Assim, teremos:
1/2 + 3/2 + 9/2 = (1+3+9)/2 = 13/2 <--- Esta é a resposta para o item"a". Ou seja, esta é a soma dos três primeiros termos da PG da sua questão.
b) Agora vamos responder à questão do item "b", que pede o valor do número de termos (n) para que a soma seja igual a 14.762. Vamos aplicar a fórmula da soma dos "n" primeiros termos de uma PG, que é dada assim:
S ̪ = a₁*[qⁿ - 1]/(q-1) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
14.762 = (1/2)*[3ⁿ - 1]/(3-1) ----- desenvolvendo, teremos:
14.762 = (1/2)*[3ⁿ - 1]/2 ---- note que (1/2)/2 = (1/4). Então iremos ficar assim:
14.762 = (1/4)*[3ⁿ - 1] ---- note que isto é equivalente a:
14.762 = 1*[3ⁿ - 1]/4 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*14.762 = 3ⁿ - 1 ---- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:
59.048 = 3ⁿ - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro, teremos:
59.048 + 1 = 3ⁿ
59.049 = 3ⁿ ---- vamos apenas inverter, ficando:
3ⁿ = 59.049 ----- note que "59.049" é igual a 3¹⁰. Assim, iremos ficar com:
3ⁿ = 3¹⁰ ----- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
n = 10 <--- Esta é a resposta para o item"b". Ou seja, a PG da sua questão deverá ter 10 termos para que a sua soma seja igual a "14.762".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.