Question

Seja a sequência

An=3+5n²/n+n²

Diga

I) essa sequência converge ou diverge?

Ii) se ela converge qual é o seu limite?

Alternativas:

A) a sequência diverge

B) a sequência diverge seu limite é 5

C) a sequência converge e seu limite é 5

D) a sequência converge e seu limite é 0

E) a sequência converge e seu limite é 1

Answer 1

Fazendo o limite infinito desta sequência, temos que esta sequência é convergente e converge para 5. Letra C.

Explicação passo-a-passo:

Então temso a seguinte sequÊncia com termo geral:

$A_n=\frac{3+5n^2}{n+n^}$

E quando queremos saber se uma sequência converge ou diverge, nos simplesmente fazemos o limite desta sequência para quando n é muito grande jogando ele para infinito:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\,\frac{3+5n^2}{n+n^2}$

Para resolvermos este limite, vamos primeiramente colocar a maior potencia de n em evidência em cima e em baixo na fração:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\,\frac{3+5n^2}{n+n^2}$

$\lim_{n \rightarrow \infty}\,\frac{n^2(\frac{3}{n^2}+5)}{n^2(\frac{1}{n}+1)}$

Agora note que podemso cortar n² em cima e em baixo, pois ele está multiplicando e dividindo:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\,\frac{\frac{3}{n^2}+5}{\frac{1}{n}+1}$

Quando fazemos este limite de n indo ao infinito, todas as frações de números fixos divididas por n viram 0, pois um número finito dividido por um valor muito grande se aproxima do valor nulo, ficando com:

$\frac{0+5}{0+1}=\frac{5}{1}=5$

Assim temos que esta sequência é convergente e converge para 5. Letra C.