Question

Seja a sequência (aₙ) n ≥ 1, definida como mostrado abaixo.


a₁ = 1
a₂ = 2 + 3
a₃ = 4 + 5 + 6
a₄ = 7 + 8 + 9 + 10
...


A - O termo a₂₀ é a soma de 20 inteiros consecutivos. Qual é o maior e o menor desses inteiros?

B - Calcule a₂₀

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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá

Percebe-se que cada termo final de an é igual ao seu último termo somado a n

Vimos também que é o valor em n que define a quantidade de termos a serem somados

A quantidade de termos é definida de acordo com o número em n, os números somados nunca são repetidos e cada termo é o subsequente ao seu anterior (a razão é 1)

Façamos por prática

a1 = 1
a2 ( n = 2, temos 2 termos) = 2 + 3
a3 = 4 + 5 + 6 (não repetimos os termos)
a4 = 7 + 8 + 9 + 10

Como citei, cada termo final de an é a soma do termo final do seu anterior com n

Pense também que cada termo inicial é a soma do final de cada valor do an anterior com 1 (comprovando que a razão é 1)

a3, seu termo final é 6, se queremos o termo final de a4, levemos em conta que n = 4, logo 6 + 4 = 10, que é o termo final

Para comprovar, observe os próximos

a5 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15
a6 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21
a7 = 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28

Agora, de acordo com a tese, devemos partir de 28, somando com o próximo valor em n

28 + 8 = 36 ( termo final de a8)
36 + 9 = 45 ( termo final de a9)
45 + 10 = 55 ( termo final de a10)

Partindo dessa tese, basta somarmos o valor com n, até chegarmos a 20

55 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 210

O valor final de a20 é 210

Sigamos a regra novamente, para descobrir o último valor em 19 (apenas subtraindo 20 do termo final de a20)

210 - 20 = 190

Tendo em mente que a razão é 1, pense que o primeiro valor de cada an é o último termo do anterior somado a 1

190 + 1 = 191

Em resposta á questão A, o menor termo de a20 é 191 e o maior termo é 210

Agora, sabendo que esta é uma P.A de razão 1, descubra a soma dos termos

$S_{n}=\dfrac{n\cdot(a1 + an)}{2}\\\\\\ S_{20}=\dfrac{20\cdot(191+210)}{2}\\\\\\ S_{20}=\dfrac{20\cdot401}{2}\\\\\\ S_{20}=\dfrac{8020}{2}\\\\\\ \boxed{S_{20}=4010}~~\checkmark$

Em resposta a questão B, a soma dos 20 termos consecutivos de a20 vale 4010