Question

Seja A ∈ Rm×n. Explique porque os produtos ATA e AAT são sempre possíveis.
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Answer 1

O motivo pelo qual os produtos são sempre possíveis é descrito abaixo.

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A multiplicação de matrizes é sempre possível desde que o número de colunas da primeira matriz no produto seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Aliás, essa é uma condição necessária e suficiente para que haja o produto entre duas matrizes.

Seja A, como dado, uma matriz de m linhas e n colunas. A matriz transposta A^{T} tem, então, n linhas e m colunas.

Com o produto A^{T}* A, como o número de colunas de A^{T} (que é m) é igual ao número de linhas de A (que também é m), logo é sempre possível o produto A^{T}* A.

Com o produto A* A^{T}, como o número de colunas de A (que é n) é igual ao número de linhas de A^{T} (que também é n), logo é também sempre possível o produto  A* A^{T}.

Até mais!