Question

Seja a reta r: 2x = y = -z e um ponto P(0; 1; 1). Encontre a distância do ponto
a)Zero, pois o ponto P pertence a reta r.
b)√30
c)√30/2
d)√10
e)10

Answer 1

Se uma reta tem equações simétricas na forma

$r: \dfrac{x-x_{0}}{a}=\dfrac{y-y_{0}}{b}=\dfrac{z-z_{0}}{c}\;\;\;\;\;(a,\,b,\,c \neq 0)$

então

$\bullet\;\;$ $Q(x_{0};\,y_{0};\,z_{0})$ é um ponto da reta;

$\bullet\;\;$ $\mathbf{v}=(a;\,b;\,c)$ é um vetor diretor da reta.


Sendo assim, analisando as equações simétricas da reta

$r:2x=y=-z\\ \\ r:\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{2}=\dfrac{z-0}{-2}$


Vemos que o ponto $Q(0;\,0;\,0)$ pertence à reta $r;$

Um vetor diretor da reta é $\mathbf{v}=(1;\,2;\,-2)$


A distância do ponto $P$ à reta é dada por

$d=\dfrac{||\overset{\to}{QP}\times \mathbf{v}||}{||\mathbf{v}||}$


Encontrando as coordenadas do vetor $\overset{\to}{QP}:$

$\overset{\to}{QP}=P-Q\\ \\ \overset{\to}{QP}=(0;\,1;\,1)-(0;\,0;\,0)\\ \\ \overset{\to}{QP}=(0-0;\,1-0;\,1-0)\\ \\ \overset{\to}{QP}=(0;\,1;\,1)$


Encontrando o produto vetorial $\overset{\to}{QP}\times \mathbf{v}:$

$\overset{\to}{QP}\times \mathbf{v}\\ \\ =(0;\,1;\,1) \times (1;\,2;\,-2)\\ \\ \\ =\det\left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 0&1&1\\ 1&2&-2 \end{array} \right ]\\ \\ \\ =-2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}-2\mathbf{i}\\ \\ =-4\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}\\ \\ =(-4;\,1;\,-1)$



A distância procurada é

$d=\dfrac{||(-4;\,1;\,-1)||}{||(1;\,2;\,-2)||}\\ \\ \\ d=\dfrac{\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{\sqrt{16+1+1}}{\sqrt{1+4+4}}\\ \\ \\ d=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{9}}\\ \\ \\ d=\sqrt{\dfrac{18}{9}}\\ \\ \\ d=\sqrt{2}\text{ u.c.}$


A distância do ponto $P(1;\,1;\,-1)$ à reta

$r:2x=y=-z$

é $\sqrt{2}\text{ u.c.}$