Matemática, perguntado por ggjhffhtt, 1 ano atrás

Seja a PG ( a,b,c ). Se a +b+c = 7/6 e a.b.c = -1.Qual o valor de a + c?

Soluções para a tarefa

Respondido por ciceronapaz
10

Se a,b,c estão em PG então podemos escrever b²=ac.

a.b.c = -1 --> no lugar de ac coloca b².

b².b=-1

b³=-1

b³=(-1)³, cancela a potência 3.

b=-1

a +b+c = 7/6

a-1+c=7/6

a+c=7/6 + 1

a+c = 7/6+6/6

a+c=13/6




ciceronapaz: fiz uma pequena correção na minha solução.
ggjhffhtt: Pq aqui soma 7/6 + 6/6=13/6 e e obrigatório substituir 1 por 6/6?
ciceronapaz: Porque na soma de frações temos que ter o mesmo denominador.
Respondido por adjemir
29

Vamos lá.

Veja, Ggjh, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: seja a PG (a; b; c). Se a + b + c = 7/6 e se a*b*c = -1, então qual será o valor de a+c?

ii) Agora veja: se a sequência (a; b; c) é uma PG, então é válida aquela "velha" relação já do seu conhecimento de que:

c/b = b/a ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

a*c = b*b --- ou apenas:

ac = b² . (I)

iii) Agora vamos para as outras informações. Temos que:

a + b + c = 7/6 . (II)

e

a*b*c = -1 . (III)

iv) Note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que é este:

{ac = b² (I).

{a+b+c = 7/6 . (II)

{abc = -1 . (III)

v) Veja que na expressão (III) poderemos reescrever assim, o que dá no mesmo, pois na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto:

acb = - 1 ---- mas note que, conforme a expressão (I), temos que ac = b². Então vamos substituir "ac" por "b²" na expressão acima (acb = -1). Fazendo isso, teremos:

b²b = - 1 ---- note que b²*b = b³. Assim, ficaremos com:

b³ = -1 ---- isolando "b", teremos:

b = ∛(-1) ------- como ∛(-1) = -1, então teremos que:

b = - 1 <--- Este será o valor de "b".

vi) Agora veja: como já temos o valor de "b", então vamos na expressão (II), que é esta:

a + b + c = 7/6 ----- substituindo-se "b" por "-1", teremos:

a + (-1) + c = 7/6 ----- ou apenas:

a - 1 + c = 7/6 ---- passando "-1" para o 2º membro, temos:

a + c = 7/6 + 1 ----- note que "1' poderá ser substituído por 6/6 (pois 6/6 = 1, concorda?). Então teremos:

a + c = 7/6 + 6/6 ---- como o denominador é o mesmo, então poderemos fazer assim:

a + c = (7 + 6)/6 ---- como "7+6 = 13", teremos:

a + c = 13/6 <---- pronto. Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de a+c.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.


ggjhffhtt: pq as vezes frações se dividem,mutiplicam quando vou saber cada um e quando?
adjemir: Mas agora, com as nossas explicações, você deve ter entendido tudo, né?
adjemir: Ggjh, agradecemos-lhe pela melhor resposta. Continue a dispor e um cordial abraço.
ggjhffhtt: tem como eu fazer assim de primeira:a +b+c = 7/6

a-1+c=7/6

a+c=7/6 + 1

a+c = 7/6+6/6

a+c=13/6
ggjhffhtt: ??
adjemir: Perfeito. Foi assim que fizemos, ok?
ggjhffhtt: mais pra que isso tudo então:ii) Agora veja: se a sequência (a; b; c) é uma PG, então é válida aquela "velha" relação já do seu conhecimento de que:

c/b = b/a ----- multiplicando-se em cruz, teremos:

a*c = b*b --- ou apenas:

ac = b² . (I)

iii) Agora vamos para as outras informações. Temos que:

a + b + c = 7/6 . (II)

e

a*b*c = -1 . (III)

iv) Note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que é este:

{ac = b² (I).

{a+b+c = 7/6 . (II)

{abc = -1 . (III)
ggjhffhtt: v) Veja que na expressão (III) poderemos reescrever assim, o que dá no mesmo, pois na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto:

acb = - 1 ---- mas note que, conforme a expressão (I), temos que ac = b². Então vamos substituir "ac" por "b²" na expressão acima (acb = -1). Fazendo isso, teremos:

b²b = - 1 ---- note que b²*b = b³. Assim, ficaremos com:

b³ = -1 ---- isolando "b", teremos:

b = ∛(-1) ------- como ∛(-1) = -1, então teremos que:

b = - 1 <--- Este será o valor de "b".

??
adjemir: Sim, pois raiz cúbica de "-1" é "-1", ok?
adjemir: O importante é que você tenha entendido tudo, ok? Agora aproveitamos a oportunidade e lhe agradecemos pela melhor resposta. Continue a dispor e um cordial abraço.
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