Question

Seja a parábola de equação x2 + 4x = 8y + 4. Determine a equação da reta diretriz da parábola

Answer 1

Após a realização dos cálculos concluímos que a equação da reta diretriz da parábola é $\large \displaystyle \mathsf{ y = - 3 }$.

O eixo da parábola é paralelo ao eixo $\boldsymbol{ \textstyle \sf y }$ e o vértice é o ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf V (x_0, y_0) }$. ( Vide a figura em anexo ).

$\large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ (x - x_0)^2 = 4p (y -y_0) } }$

A equação da diretriz é dada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ y = y_0-p } }$

e foco tem coordenadas $\boldsymbol{ \textstyle \sf F( x_0, y_0+ p) }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +4x = 8y +4 } }$

Resolução:

Completando o quadrado perfeito, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x^{2} +4x + 4 = 8y +4 +4 } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x+2)^2 = 8y +8 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ (x+2)^2 = 8 (y +1) }$

Comparando com a forma padrão, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \ \left.\begin{array}{ cc} \sf (x-x_0)^2 = 4p(y-y_0) \\ \\ \sf (x+2)^2 = 8(y+1) \end{array}\right. \Rightarrow \begin{cases} \sf x_0 = -2 \\ \sf y_0 = -1\\ \sf 4p = 8 \therefore p = 2 \end{cases} } }$

O enunciado pede a equação da diretriz é:

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = y_0 -p }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = -1 - 2 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = - 3 }$

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