Question

Seja a o último algarismo da soma 1!+2!+3!+...+99!+..., calculeP(a), em que P(a)= x^5-3x^3-6x^2-12x+1. Alguém me ajuda !!

Answer 1

$\mathrm{De\ 5!\ em\ diante,\ todas\ as\ parcelas\ da\ soma\ apresentam\ ze-}\\ \mathrm{ro\ como\ algarismo\ das\ unidades,\ pois\ ser\~ao\ m\acute{u}ltiplos\ de\ 10,}\\ \mathrm{visto\ que\ ter\~ao\ 2\ e\ 5\ como\ fatores\ multiplicativos:}\\\\ \mathrm{5!=120;\ 6!=720;\ 7!=5040;\ 8!=40320;\ \dots}$

$\mathrm{Neste\ \hat{a}mbito,\ o\ \acute{u}ltimo\ algarismo\ da\ soma\ 1!+2!+\dots+99!}\\ \mathrm{ser\acute{a}\ o\ mesmo\ da\ soma\ 1!+2!+3!+4!:}\\\\ \mathrm{1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33\ \to\ Logo,\ \boxed{\mathrm{a=3}}.}$

$\mathrm{Portanto:}\\\\ \mathrm{P(a)=x^5-3x^3-6x^2-12x+1}\\\\ \mathrm{P(3)=3^5-3.3^3-6.3^2-12.3+1}\\\\ \mathrm{P(3)=243-81-54-36+1}\\\\ \mathrm{P(3)=244-171\ \to\ \boxed{\mathbf{P(3)=73}}}$