Question

Seja a matriz $A = \left[\begin{array}{cc}x&1\\2&3\end{array}\right]$ em que x ∈ ℝ

Determine o valor real de x para que $A^{2} = \left[\begin{array}{cc}6&1\\2&11\end{array}\right]$

Answer 1

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf A=\begin{bmatrix}\sf x&\sf1\\\sf2&\sf3\end{bmatrix}\\\sf A^2=A\cdot A\\\sf A^2=\begin{bmatrix}\sf x&\sf1\\\sf 2&\sf3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\sf x&\sf1\\\sf2&\sf3\end{bmatrix}\\\\\sf A^2=\begin{bmatrix}\sf x\cdot x+1\cdot2&\sf x\cdot 1+1\cdot3\\\sf 2\cdot x+3\cdot2&\sf 2\cdot1+3\cdot3\end{bmatrix}\\\\\sf A^2=\begin{bmatrix}\sf x^2+2&\sf x+3\\\sf 2x+6&\sf11\end{bmatrix}\\\\\sf mas~A^2=\begin{bmatrix}\sf 6&\sf1\\\sf 2&\sf11\end{bmatrix}~DA\acute I:\end{array}}$

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\begin{bmatrix}\sf x^2+2&\sf x+3\\\sf 2x+6&\sf 11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sf 6&\sf1\\\sf2&\sf11\end{bmatrix}\\\sf Pela~d~\!\!efinic_{\!\!,}\tilde ao~de~igualdade~de~matrizes\\\begin{cases}\sf x^2+2=6\\\sf x+3=1\\\sf 2x+6=2\end{cases}\\\sf x~deve~ter~valor~\acute unico.\\\sf x^2+2=6\\\sf x^2=6-2\\\sf x^2=4\\\sf x=\pm\sqrt{4}\\\sf x=\pm2\\\sf x+3=1\\\sf x=1-3\\\sf x=-2\\\sf 2x+6=2\\\sf2x=2-6\\\sf 2x=-4\\\sf x=-\dfrac{4}{2}\\\sf x=-2\end{array}}$

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf Para~n\tilde ao~cairmos~em~contradic_{\!\!,}\tilde ao, \\\sf devemos~assumir\\\sf que~a~soluc_{\!\!,}\tilde ao~da~equac_{\!\!,}\tilde ao~x^2+2=6~\acute e~-2.\\\sf Portanto~x=-2\end{array}}$

Answer 2

Resposta: o valor real de x é: x = – 2.

Observe que $\tinyA=\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}$, então $\tinyA^2=\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}$. Ou seja, se $\tinyA^2=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}$, então:

$\begin{array}{l}\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x&1\\2&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}\\\\\begin{bmatrix}x\cdot x+1\cdot2&x\cdot 1+1\cdot3\\2\cdot x+3\cdot2&2\cdot 1+3\cdot3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}\\\\\begin{bmatrix}x^2+2&x+3\\2x+6&2+9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}\\\\\begin{bmatrix}x^2+2&x+3\\2x+6&11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}\end{array}$

(Basta fazer a soma do produto dos elementos da linha da primeira matriz pelos elementos da coluna da segunda matriz).

Por ser uma igualdade de matrizes, cada elemento da primeira matriz é igual ao respectivo elemento da segunda matriz:

$\begin{array}{l}\begin{cases}x^2+2=6\\x+3=1\\2x+6=2\\11=11\end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases}x^2=4\\x=-2\\2x=-4\\11=11\end{cases}\Leftrightarrow~\begin{cases}x=-2~\vee~x=2\\x=-2\\x=-2\\11=11\end{cases}\end{array}$

Encontrado dois resultados, x = – 2 e x = 2, é notável que x ≠ 2, visto que x = 2 causará uma igualdade falsa: $\tiny\begin{bmatrix}2^2+2&2+3\\2\cdot2+6&11\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix}6&5\\10&11\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}6&1\\2&11\end{bmatrix}$. ∴ x = – 2.

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.