Matemática, perguntado por fernandamontanha04, 4 meses atrás

Seja a matriz M da ordem 3x3, onde aij = i+j , determine o valor dos termos em que i é igual a j.

Soluções para a tarefa

Respondido por Buckethead1

Os valores da diagonal principal $\tt (i=j)$ são:

$\large \left[ \begin{array}{ccc} \tt \red2& & \\ \tt & \tt \red4& \\ \tt && \tt \red6\end{array} \right]$

❏ Definição de matriz.

“Dados dois números, m e n, naturais e não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se m × n) toda tabela M formada por números reais distribuídos em m linhas e n colunas.”

Obs.: Vale ressaltar que usa-se m × n para fins de dimensão da matriz, isto é, seu tamanho. Mais a frente você conhecerá a notação ij, esta é usada quando nos referirmos a posição de uma entrada da matriz.

❏ Observe a matriz quadrada genérica a seguir:

$\large \tt A =\begin{bmatrix}\tt a_{11}&\tt a_{12}&\tt a_{13}& \ldots &\tt a_{1k}& \ldots &\tt a_{1n}\\\tt a_{21}&\tt a_{22}&\tt a_{23}& \ldots &\tt a_{2k} & \ldots&\tt a_{2n}\\\tt a_{31}&\tt a_{32}&\tt a_{33}& \ldots & \tt a_{3k} & \ldots& \tt a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\\tt a_{k1} & \tt a_{k2} & \tt a_{k3} &\ldots &\tt a_{kk} & \ldots &\tt a_{kn}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\\tt a_{n1}&\tt a_{n2}&\tt a_{n3}& \ldots &\tt a_{nk}& \ldots &\tt a_{nn}\\\end{bmatrix}$

Veja que cada elemento possui um sub-índice numérico, este é responsável por situar o elemento dentro da matriz, facilitando assim a identificação destes. Veja por exemplo a primeira entrada dessa matriz e compare com uma entrada de uma matriz arbitrária m×n:

$\large\begin{array}{lr}\tt a_{11} = a_{ij}\end{array}$

Quando falo situar os elementos, tenha em mente, pela definição de matrizes dada acima, que uma tabela possui linhas e colunas, daí para facilitar a localização de uma entrada/elemento usamos a notação $\tt a_{ij}$ para determinar a linha $\tt (i)$ e a coluna $\tt (j)$ .

❏ Logo, quando nos referimos ao elemento $\tt a_{11}$ do exemplo anterior, dizemos que ele está na linha 1 e coluna 1, sempre nessa ordem, primeiro linha depois coluna.

❏ Lê-se a um, um; a um, dois; a um, três…

❏ Sabendo disso, fica simples resolver. Foi dada a lei de formação da matriz $\tt a_{ij} = i+j$ , ela nos diz que cada elemento $\tt a_{ij}$ da matriz $\tt A = [a_{ij}]_{3\times 3}$ é resultado da soma da linha e da coluna de cada elemento.

❏ A outra ordem da questão foi a determinação dos elementos cuja linha fosse igual a coluna. Por ser uma matriz quadrada, podemos definir um conceito importante que é o de diagonal de uma matriz.

Como falei anteriormente, esse fenômeno matricial ocorre apenas em matrizes quadradas, matrizes com número de linhas igual ao número colunas. Em matrizes quadradas a diagonal principal será constituída dos elementos cujos índices de linhas e colunas forem iguais $\tt i=j$ . Como exemplo veja a seguinte matriz quadrada de ordem 4.

$\large \tt A =\left[ \begin{array}{cccc} \tt \red{a_{11}}&\tt a_{12}&\tt a_{13} & \tt a_{14}\\ \tt a_{21} &\tt \red{a_{22}}&\tt a_{23}& \tt a_{24}\\ \tt a_{31}&\tt a_{32}&\tt \red{a_{33}}& \tt a_{34} \\ \tt a_{41}&\tt a_{42}&\tt a_{43}& \tt \red{ a_{44}}\end{array} \right]_{4\times 4}$

No nosso caso, a matriz é quadrada de ordem 3. Conforme já foi dito, vamos economizar esforço e calcular apenas o que é necessário, no caso vimos que se trata da diagonal principal. Dessa forma, seguindo a lei de formação da matriz, vamos somar.

$\large \tt A =\left[ \begin{array}{ccc} \tt \red{a_{11}}&\tt a_{12}&\tt a_{13}\\ \tt a_{21} &\tt \red{a_{22}}&\tt a_{23}\\ \tt a_{31}&\tt a_{32}&\tt \red{a_{33}}\end{array} \right]_{3\times 3} \\\\ \large\begin{array}{lr}\tt a_{11} = i + j = 1 + 1 = \red 2\\\\\tt a_{22} =i+j=2+2= \red 4 \\\\\tt a_{33} = i+j = 3+3= \red 6\end{array}$

Logo, os valores dos termos quando $\tt i = j$ são:

$\large\red{\underline{\boxed{\begin{array}{lr}\tt \therefore\:\tt A =\left[ \begin{array}{ccc} \tt \red{2}&\tt &\tt \\ \tt &\tt \red{4}&\tt \\ \tt &\tt &\tt \red{6}\end{array} \right]_{3\times 3} \end{array}}}}$