Question

Seja a matriz dada abaixo.

Assinale a alternativa que corresponde à inversa da Matriz A.
(Me explique direito como vc fez a conta? por favor)

Answer 1

Para que uma matriz seja invertível/inversível, é necessário que a ordem dela esteja sob este fomato: $(nXn)$, ou seja, ela precisa ser uma matriz do tipo quadrada. O processo de inversão é feito segundo um conceito:

A multiplicação de uma matriz pela sua matriz inversa (nesta ordem) resulta na matriz identidade,

$A * A^{-1} = I$

que nada mais é do que uma matriz quadrada de mesma ordem que a matriz inicial, só que com os elementos de sua diagonal principal (da esqueda p/ direita indo de cima para baixo) formada por elementos que valem 1 e o restante valendo 0:

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$ para matrizes de ordem (2x2)

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$ para matrizes de ordem (3x3)

e assim por diante.

Então para invertermos a matriz A do exercício, é necessário montar uma equação matricial:

$A * A^{-1} = I\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&-4&6\\7&-8&9\end{array}\right] * A^{-1} = I\\\\\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&-4&6\\7&-8&9\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Para resolver uma multiplicação matricial, vamos montar um sistema da seguinte maneira:

• Para a primeira equação do sistema, multiplicam-se os elementos correspondentes: os da linha 1 da matriz $A$ pela coluna 1 da matriz $A^{-1}$:

$1*a+2*d+3*g=1$

Igualamos ela ao elemento da matriz identidade da linha 1 coluna 1.

Esta é a primeira das 9 equações que serão montadas.

• Para a segunda equação, temos linha 1 de $A$ com coluna 2 de $A^{-1}$:

$1*b+2*e+3*h = 0$

Igualamos ela ao elemento da matriz identidade da linha 1 coluna 2.

• Terceira equação (linha 1 de $A$ com coluna 3 de $A^{-1}$):

$1*c+2*f+3*i=0$

Igualamos ela ao elemento da matriz identidade da linha coluna 3.

E assim por diante:

$4*a-4*d+6*g=0\\4*b-4*e+6*h=1\\4*c-4*f+6*i=0$ para a linha 2

$7*a -8*d + 9*g = 0\\7*b-8*e+9*h = 0\\7*c-8*f+9*i=1$ para a linha 3

Montamos 3 sistemas de 3 equações com 3 trios de variáveis em cada sistema:

$Primeiro: \left\{\begin{array}{lll}Equacao(1):1*a+2*d+3*g=1\\Equacao(2):4*a-4*d+6*g=0\\Equacao(3):7*a -8*d + 9*g = 0\end{array}\right$

$Segundo: \left\{\begin{array}{lll}Equacao(1):1*b+2*e+3*h = 0\\Equacao(2):4*b-4*e+6*h=1\\Equacao(3):7*b-8*e+9*h = 0\end{array}\right$

$Terceiro: \left\{\begin{array}{lll}Equacao(1):1*c+2*f+3*i=0\\Equacao(2):4*c-4*f+6*i=0\\Equacao(3):7*c-8*f+9*i=1\end{array}\right$

Resolvem-se os sistemas:

$a =1\\d=\frac{1}{2}\\g=\frac{-1}{3}$   $b=\frac{-7}{2}\\h=\frac{11}{6}\\e=-1$   $c = 2\\f=\frac{1}{2}\\i=-1$

A matriz $A^{-1}$ fica:

$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&\frac{-7}{2}&2\\\\\frac{1}{2}&-1&\frac{1}{2}\\\\\frac{-1}{3}&\frac{11}{6}&-1\end{array}\right]$