Question

Seja a matriz:



cos 25° sen 65°

sem 120° cos 390°


O valor de seu determinante é:


(A) 2√2


(B) 3√3


(C) 0

(D) √3

​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{c)~0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Queremos encontrar o valor do determinante:

$\det=\begin{vmatrix}\cos(25\°)&\sin(65\°)\\ \sin(120\°)&\cos (390\°)\\\end{vmatrix}$

Seu resultado pode ser calculado a partir da Regra de Sarrus para matrizes de ordem 2: consiste na diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Logo, teremos que:

$\det=\begin{vmatrix}\cos(25\°)&\sin(65\°)\\ \sin(120\°)&\cos (390\°)\\\end{vmatrix}=\cos(25\°)\cdot\cos(390\°)-\sin(65\°)\cdot\sin(120\°)$

Agora, devemos relembrar algumas propriedades de funções trigonométricas.

Sabemos que $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$, tal que $\pi~\mathtt{rad}=180\°$.

Temos também as relações: $\cos(2\pi+x)=\cos(x)$ e $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos(x)$

Aplicando estas relações, podemos ver que:

$\begin{cases}\cos(390\°)=\cos(2\pi+30\º)=\cos(30\°)\\\\ \sin(65\°)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-65\º\right)=\cos(25\°)\\\\ \sin(120\°)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+30\°\right)=\cos(30\º)\\\end{cases}$

Substituindo estes valores, teremos:

$\det=\cos(25\º)\cdot\cos(30\°)-\cos(25\°)\cdot\cos(30\º)$

Cancelando os termos opostos

$\det=0$

Este é o valor deste determinante e é a resposta contida na letra c).