Question

seja a matriz a, 3 x 3, em que a primeira linha é formada pelos elementos (2,1, 3), nesta ordem, a segunda linha é formada pelos elementos (0, 5, 2), nesta ordem, a terceira linha é formada pelos elementos (0, 0, 3), nesta ordem. então, o valor do determinante de a⁻¹ é:

Answer 1

Resposta:

Explicação:

Deve-se lembrar que A.A⁻¹=I (o produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade, que é formada por 1 na sua diagonal principal e por 0 nos demais termos).

Chamando a matriz dada de A, temos:

A= $\left[\begin{array}{ccc}2&1&3\\0&5&2\\0&0&3\end{array}\right]$

A matriz inversa a A (notação A⁻¹) será:

A⁻¹=$\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$

A partir daí, devemos resolver a equação lá de cima para obter a matriz inversa.

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&3\\0&5&2\\0&0&3\end{array}\right]$ x $\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Para resolver, deve-se multiplicar cada linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. Cada elemente ficará da seguinte maneira:

a₁₁: soma do produto dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda matriz.

a₁₂: soma do produto dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da segunda coluna da segunda matriz.

a₁₃: soma do produto dos elementos da primeira linha da primeira matriz pelos elementos da terceira coluna da segunda matriz.

a₂₁: soma do produto dos elementos da segunda linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda matriz.

a₂₂: soma do produto dos elementos da segunda linha da primeira matriz pelos elementos da segunda coluna da segunda matriz.

a₂₃: soma do produto dos elementos da segunda linha da primeira matriz pelos elementos da terceira coluna da segunda matriz.

a₃₁: soma do produto dos elementos da terceira linha da primeira matriz pelos elementos da primeira coluna da segunda matriz.

a₃₂: soma do produto dos elementos da terceira linha da primeira matriz pelos elementos da segunda coluna da segunda matriz.

a₃₃: soma do produto dos elementos da terceira linha da primeira matriz pelos elementos da terceira coluna da segunda matriz.

Prosseguindo a resolução da equação acima:

$\left[\begin{array}{ccc}2a+d+3g&2b+e+3g&2c+f+3i\\5d+2g&5e+2h&5f+2i\\3g&3h&3i\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Agora, igualam-se os termos equivalentes:

3g=0 ∴ g=0

3h=0 ∴ h=0

3i=1 ∴ i=1/3

5d+2g=0 ∴ 5d+2(0)=0 ∴ d=0

5e+2h=1 ∴ 5e+2(0)=1 ∴ e=1/5

5f+2i=0 ∴ 5f+2(1/3)=0 ∴ 5f= -2/3 ∴ f= -2/15

2a+d+3g=1 ∴ 2a+0+3(0)=1 ∴ a=1/2

2b+e+3g=0 ∴ 2b+1/5+3(0)=0 ∴ 2b= -1/5 ∴ b= -1/10

2c+f+3i=0 ∴ 2c + (-2/5) + 3 (1/3) = 0 ∴ 2c -2/5 +1 = 0 ∴ 2c + 3/5 = 0 ∴ c = 3/10

Temos que a matriz inversa da dada pelo problema será:

$\left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1/2&-1/10&3/10\\0&1/5&-2/15\\0&0&1/3\end{array}\right]$

Agora devemos descobrir o determinante da matriz inversa. Para tanto, basta repetir, do lado direito da matriz, a primeira e a segunda colunas. Após, multiplicar as três diagonais de 3 elementos para a direita e para a esquerda. Os resultados das multiplicações para a esquerda recebem sinal invertido (se o resultado encontrado for um número negativo, ele resulta positivo e vice e versa) - Regra de Sarrus:

$\left[\begin{array}{ccc}1/2&-1/10&3/10\\0&1/5&-2/15\\0&0&1/3\end{array}\right]$

Resolvendo, temos:

Resultados da multiplicação no sentido do lado direito:

(1/2 x 1/5 x 1/3) + (-1/10 x -2/15 x 0) + (3/10 x 0 x 0) = 1/30

Resultados da multiplicação no sentido do lado esquerdo:

- (3/10 x 1/5 x 0) - (1/2 x -2/15 x 0) - (-1/10 x 0 x 1/3) = 0

Somam-se os dois resultados:

Det = 1/30 + 0 = 1/30.