Question

Seja a integral tripla: ∫ 0 a 2 ∫ 0 a 2 ∫ 0 a x+2 (2y)dydxdz

Assinale a alternativa correta quanto o valor da integral.

Escolha uma:
a. 20/5.
b. 7/5.
c. 28/5.
d. 9.
e. 2/5

Answer 1

Olá!

    Temos:

$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{x+2}2y\;dydxdz = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}y^2\bigg{|}_{y=0}^{y=x+2} \;dxdz= \\ \\ \\= \int_{0}^{2}\int_{0}^{2} (x+2)^2-0^2\;dxdz = \int_{0}^{2}\int_{0}^{2}x^2+4x+4\;dxdz = \\ \\ \\ = \int_{0}^{2}\frac{x^3}{3}+ 2x^2+4x\bigg{|}_0^2 dz= \int_{0}^{2}\frac{8}{3}+8+8\;dz=\\ \\ \\ = \frac{56}{3}\int_0^2dz = \frac{56}{3}(2-0) = \frac{112}{3}$


    Não cheguei a nenhuma das alternativas. Contudo, colocando essa integral tripla no Wolfram (pela internet), obtive o mesmo resultado que o meu.



Bons estudos!

Answer 2

O valor da integral tripla $\int\limits^2_0 \int\limits^2_0 \int\limits^{x+2}_0 {2y} \, dydxdz$ é 112/3.

Para resolver uma integral tripla devemos começar pela integral "interna".

Sendo assim, vamos calcular o valor da integral ∫2y dy.

Dito isso, temos que:

∫2y dy = y².

Como os limites de integração são 0 e x + 2, então: (x + 2)² - 0² = x² + 4x + 4.

Agora, vamos calcular a integral ∫x² + 4x + 4 dx:

∫x² + 4x + 4 dx = x³/3 + 2x² + 4x.

Como os limites de integração são 0 e 2, então:

2³/3 + 2.2² + 4.2 - (0³/3 + 2.0² + 4.0) = 8/3 + 8 + 8 = 8/3 + 16 = 56/3.

Por fim, vamos calcular a integral ∫56/3 dz:

∫56/3 dz = 56z/3.

Substituindo os limites de integração, que são 0 e 2, obtemos:

56.2/3 - 56.0/3 = 112/3.

Portanto, podemos concluir que o valor da integral tripla $\int\limits^2_0 \int\limits^2_0 \int\limits^{x+2}_0 {2y} \, dydxdz$ é 112/3.

Exercício sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/19595946