Question

Seja a ∈ IN. Prove que 3a² − 1 não é um quadrado perfeito.

Answer 1

Seja $n$ um inteiro. Vamos avaliar possíveis formas de $n^{2}$

Dividindo $n$ por 3, temos, pelo algoritmo da divisão, que

$n=3q+r,~0\le r\le2$

Daí:

$n^{2}=(3q+r)^{2}\\\\n^{2}=(3q)^{2}+2\cdot3q\cdot r+r^{2}\\\\n^{2}=9q^{2}+6qr+r^{2}\\\\n^{2}=3(3q^{2}+2qr)+r^{2}\\\\n^{2}=3k+r^{2},~com~k=3q^{2}+2qr$

$\bullet~$ r = 0:

$n^{2}=3k+0^{2}=3k$

$\bullet~$ r = 1:

$n^{2}=3k+1^{2}=3k+1$

$\bullet~$ r = 2:

$n^{2}=3k+2^{2}=3k+4=3k+3+1=3(k+1)+1=3k^{*}+1$

Logo, temos que todo quadrado perfeito é da forma $3k$ ou $3k+1$, para k inteiro

Com isso, vemos que o inteiro $3a^{2}-1$ não pode ser um quadrado perfeito, pois é da forma $3k-1$, e essa não é a forma de um quadrado perfeito, como vimos.