Question

Seja a função y = -x3 – 9x2 + 216x + 9. Calcule os pontos de máximo e de mínimo dessa função, e faça a verificação à esquerda e direita de cada uma, de forma a confirmar se são pontos de mínimo ou de máximo.

Answer 1

⇒Os pontos máximo e mínimo são, respectivamente, (6, 765) e (-12, -2151).

$\blacksquare$ Observe a figura em anexo. A função é:

→crescente do ponto A ao ponto B (a derivada é positiva)

→decrescente do ponto B ao ponto C (a derivada é negativa)

→crescente do ponto C ao ponto D (a derivada é positiva)

Observe que, nos pontos B e C, retas tangentes a esses pontos são paralelas ao eixo x, portanto a inclinação delas, ou seja, a derivada é zero.

$\blacksquare$ Se queremos encontrar possíveis pontos de máximo e mínimo de uma função, primeiro calculamos a derivada e analisamos em qual(is) ponto(s) a derivada é zero.

$\blacksquare$ Seja $f(x)=-x^3-9x^2+216x+9$, a derivada é;

$f'(x)=-3x^2-18x+216$

Fazendo $f'(x)=0$ :

$\Large \begin{array}{l}-3x^{2} -18x+216=0\\\\\Longrightarrow \Delta =b^{2} -4ac\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =( -18)^{2} -4\cdotp ( -3) \cdotp 216=2916\\\\\Longrightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} =\frac{18\pm 54}{-6}\\\\\Longrightarrow x=6\lor x=-12\end{array}$

A função corta o eixo x nos pontos x = 6 e x = -12. Quando x = 6, f(x) = 765, e quando x = -12, f(x) = -2151. As coordenadas dos pontos críticos são (6, 765) e (-12, -2151). Vamos verificar o comportamento da função nas proximidades desses dois pontos.

$\blacksquare$ Se x = 5,9, ou seja, um pouco menor que 6, então

$f'(5,9)=-3(5,9)^2-18\cdot(5,9)+216=5,37$

ou seja, positiva.

Se x = 6,1, i.e., um pouco maior que 6,

$f'(6,1)=-3(6,1)^2-18(6,1)+216=-5,43$

ou seja, negativa.

A função é crescente até x = 6, e depois é decrescente. É um ponto de máximo.

Se x = -12,1, um pouco menor que -12,

$f'(-12,1)=-3(-12,1)^2-18(-12,1)+216=-5,43$

i.e., negativa

Se x = -11,9, um pouco maior que -12,

$f'(-11,9)=-3(-11,9)^2-18(-11,9)+216=5,37$

i.e., positiva.

A função é decrescente até x = -12, e depois é crescente. É um ponto de mínimo.

∴O ponto (6, 765) é um ponto máximo, e o ponto (-12, -2151) é um ponto mínimo.

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