Question

Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂ 2w/∂y∂x

Answer 1

Olá

$\displaystyle \mathsf{ w=\ell n(2x+3y) }\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx}=? }$


Sabemos que a derivada de 'ln' é dada por

$\displaystyle \mathsf{(\ell n u)'= \frac{u}{u'} }$



Partindo disso...


A derivada 1ª da função 'w' é em relação a 'x', com isso, 'y' se torna constante... (derivada de constante = 0)


Derivando em relação a x



$\displaystyle \mathsf{ \frac{\partial w}{dx}~=~ \frac{2+0}{2x+3y} \qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad \boxed{\mathsf{\frac{\partial w}{dx}~=~ \frac{2}{2x+3y}}}}$



Derivando a função que encontramos derivando em relação a x, só que vamos derivar em relação a y


$\displaystyle \mathsf{\frac{\partial w}{dx}~=~ \frac{2}{2x+3y}}\\\\\\ \mathsf{ \frac{\partial }{dy}\left( \frac{\partial w}{dx} \right)~=~ \frac{\partial ^2w}{dydx} }\\\\\\\\\\\mathsf{ 2x+3y=u\qquad\qquad\qquad u'=3 ~(derivando~ em~ relacao ~a ~y)}\\\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~\frac{2}{u} }\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~2\cdot u^{-1} }\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~-2u'\cdot u^{-2}}\\\\\\\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~\frac{-2u'}{u^2} }$


E como vimos anteriormente:

u = 2x + 3y
u' = 3


Substituindo


$\displaystyle \mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~\frac{-2\cdot 3}{(2x+3y)^2} } \\\\\\\\\boxed{\mathsf{ \frac{\partial ^2w}{dydx} ~=~-\frac{6}{(2x+3y)^2} }}$




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$\mathsf{AvengerCrawl\left(\smile \!\!\!\!\!\!\!^{'~'}\right)}$