Question

seja a função f(xy)= sen²(x-3y). encontre a derivada da função em relação a y:


A resposta é -6sen(x-3y) cos(x-3y), quero saber como se desenvolve.

Answer 1

A derivada parcial de f(x,y) com relação a y é definida por

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}=\left\dfrac{d}{dt}f(x,y+t)\right|_{t=0}$

Geralmente não usamos o limite para encontrar a expressão da derivada parcial, apenas derivamos a função em relação a y, mantendo x fixo (Ou seja, x faz papel de constante na derivação parcial de f em relação a y)
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$f(x,y)=sen^{2}(x-3y)=[sen(x-3y)]^{2}$

Para encontrarmos ∂f/∂y, consideramos x fixo (constante) e derivamos a função em relação a y, usando as regra do cálculo 1 (pois, para x fixo, a função passa a ter 1 variável)

Fazendo isso (e usando a regra da cadeia), temos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}[sen(x-3y)]^{2}\\\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\cdot sen^{1}(x-3y)\dfrac{\partial}{\partial y}sen(x-3y)\\\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=2sen(x-3y)cos(x-3y)\dfrac{\partial}{\partial y}(x-3y)$

Como x está fixo, ∂x/∂y = 0 (x faz papel de constante), logo:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=2sen(x-3y)cos(x-3y)\cdot(0-3)\\\\\\\dfrac{\partial f}{\partial y}=2(-3)sen(x-3y)cos(x-3y)\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=-6sen(x-3y)cos(x-3y)}}$