Question

Seja a função f(x) = (x^3 - 27) ∕ (x – 3). Calcule o limite desta função para x = 3:

Answer 1

O limite da função dada quando $x$ se aproxima de 3 é igual a 27.

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Deseja-se calcular o limite da seguinte função quando $x$ se aproxima de 3:

$\Large\displaystyle f(x)=\frac{x^3-27}{x-3}.$

Note que $f$ não está definida quando $x=3.$ Entretanto, quando calculamos $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$ o que importa é o comportamento da função $f$ quando $x$ se aproxima de $a$ e não o que acontece quando $x=a.$

Assim sendo, para calcular o limite pedido, vamos fatorar o numerador usando o seguinte produto notável:

$\Large\boxed{a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right).}$

Desse modo, temos:

$\Large\begin{aligned}\displaystyle&\lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3}\\\\&=\lim_{x\to3}\frac{x^3-3^3}{x-3}\\\\&=\lim_{x\to3}\frac{\cancel{(x-3)}\left(x^2+3x+3^2\right)}{\cancel{x-3}}\\\\&=\lim_{x\to3}(x^2+3x+9)\\\\&=3^2+3\cdot3+9\\\\&=9+9+9\\\\&=27.\end{aligned}$

Portanto,

$\Large\boxed{\boxed{\lim_{x\to3}\frac{x^3-27}{x-3}=27.}}$

Espero ter ajudado!