Question

Seja a função f(x) = mx² + nx +1, x real, onde m e n são constantes reais. Sabendo-se que f(x+1) = f(x) + 2x + 1, para qualquer x real, calcule os valores de m e n, respectivamente. Dica: analise primeiramente f(0) e f(1).

URGENTE ME AJUDEM

Answer 1

Primeiro vamos analisar a função utilizando a dica dada pelo professor. Veja que ele pediu para observar o que ocorre em f(0) e f(1). Dada f(x) = mx² + nx +1, temos que:

f(0) = m.0² + n.0 + 1 → f(0) = 1

Se x = 0, temos que x+1 = 1 e assim f(1) = f(x+1).

f(x+1) = f(x) + 2x + 1

f(x+1) = 0 + 2x + 1

f(1) = 2.1 + 1 = 3

Entretanto, temos também que:

f(1) = mx² + nx +1 = m + n + 1

Como achamos ali em cima que f(1) = 3, temos:

m + n + 1 = 3

m + n = 2

Vamos calcular também f(2)

f(2) = 4m + 2n + 1

f(2) = 3 + 4 + 1 = 8

4m + 2n + 1 = 8

4m + 2n =7

Caímos num sistema de equações onde:

$\begin{cases} m + n = 2\\4m +2n = 7\end{cases}$

Para resolver multiplicaremos a primeira equação por -2 e somaremos com a segunda.

$-2m-2n = -4\\\underline{\phantom{-}4m+2n=7}\\\phantom{-}2m = 3\\\\\phantom{-}m = \dfrac32$

Achado m, basta substitui-lo em qualquer uma das equações para encontrar n.

$4.\dfrac32 + 2n = 7\\\\6 + 2n = 7\\\\2n = 1\\\\n = \dfrac12$

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