Seja a função f(x)=5sen(x)+3cos(x). Se f'(0)=f'(θ), 0<θ<2(pi), então tg(θ) é:
Soluções para a tarefa
Vamos à resolução da equação trigonométrica proposta.
f(x) = 5sen(x)+3cos(x) =>
f’(x) = 5[sen(x)]’+3[cos(x)]’ =>
f’(x) = 5cos(x)+3[-sen(x)] =>
f’(x) = 5cos(x)-3sen(x) =>
f’(0) = 5cos(0)-3sen(0) =>
f’(0) = 5.1-3.0 =>
f’(0) = 5-0 =>
f’(0) = 5
Fazendo theta = k, temos:
f(theta) = f(k) = 5sen(k)+3cos(k) =>
f’(k) = 5cos(k)-3sen(k)
Sabemos que f’(0) = f’(k). Com isso, obteremos:
5cos(k)-3sen(k) = 5 =>
25cos²(k)-30sen(k)cos(k)+9sen²(k) = 25 =>
25cos²(k)-15[2sen(k)cos(k)]+9[1-cos²(k)] = 25 =>
25cos²(k)-15sen(2k)+9-9cos²(k) = 25 =>
16cos²(k)-15sen(2k)+9 = 25 =>
16cos²(k)-15sen(2k) = 16 =>
16[cos²(k)-1] = 15sen(2k) =>
-16[1-cos²(k)] = 15sen(2k) =>
-16sen²(k) = 15sen(2k) =>
[-16tg²(k)]/[tg²(k)+1] = [30tg(k)]/[tg²(k)+1] =>
-16tg²(k) = 30tg(k) =>
30tg(k)+16tg²(k) = 0 =>
tg(k)[30+16tg(k)] = 0 =>
tg(k) = 0 (Não convém!)
ou
16tg(k)+30 = 0 =>
16tg(k) = -30 =>
8tg(k) = -15 =>
tg(k) = -15/8 (Solução válida!)
Abraços!