Question

seja a função f(x)=3, assinale a alternativa que contenha o volume do solido de revolução no intervalo x=0 a x=4:

Answer 1

✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que o volume do sólido de revolução procurado é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V_{\zeta} = 36\pi\,u.\,v. \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                     $\Large\begin{cases}\tt f(x) = 3\\ \tt x_{a} = 0\\ \tt x_{b} = 4\end{cases}$

Se f(x) é uma função constante - ilimitada nos dois sentidos - e ela contém o segmento retilíneo XaXb, e se não foi especificado sobre qual eixo está ocorrendo o giro - uma vez que o sólido é de revolução - então, podemos subtender, sem perda de generalidade, que o segmento retilíneo está girando sobre o eixo das abscissas. Nesta situação, para calcular o volume deste sólido, devemos utilizar a fórmula representada pela seguinte integral definida:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt V_{\zeta} = \int_{a}^{b}A(x)\,dx\end{gathered}$

Sabendo que a área "A" da secção transversal do objeto pode ser obtido pode ser obtida pela regra dos discos, então temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf II\end{gathered}$                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi r^{2}\end{gathered}$

Se:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf III\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = 3\end{gathered}$

Substituindo "III" em "II", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf IV\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi\left[f(x)\right]^{2} = \pi\cdot(3)^{2} = 9\pi\end{gathered}$

Substituindo "IV" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf V\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{\zeta} = \int_{a}^{b}9\pi\,dx\end{gathered}$

Sabendo que o intervalo de integração é:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I_{i} = [0, \, 4]\end{gathered}$

Substituindo estes limites na equação "V", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \bf VI\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{\zeta} = \int_{0}^{4}9\pi\,dx\end{gathered}$

Desenvolvendo e resolvendo a equação "VI", temos:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{\zeta} = \int_{0}^{4}9\pi\,dx\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\int_{0}^{4}9\,dx\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot\bigg(\frac{9x}{1}\bigg)\bigg|_{0}^{4}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot(9x)|_{0}^{4}\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot(9\cdot4) - \pi\cdot(9\cdot 0)\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot(36)\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 36\pi\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V_{\zeta} = 36\pi\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$