Question

Seja a função f(x) = 2x2 + 1. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(1, 3). A outra tangente intercepta a primeira reta no ponto de abscissa zero. Determine o ponto de tangência da segunda reta ao gráfico de f(x) e sua equação.

Answer 1

$\displaystyle \sf f(x) =2x^2+1 \\\\ \underline{\text{equa{\c c}{\~a}o da reta tangente no ponto P(1,3) }} : \\\\\ y-3=m(x-1) \\\\\ m = f'(1) \\\\ Da{\'i}}: \\\\\ f'(x) = (2x^2+1)' \\\\ f'(x) = 4x \\\\ f'(1) = 4.1 \to f(1) = 4 = m \\\\\ \text{substituindo na equa{\c c}{\~a}o da re ta tangente }: \\\\ y-3=4(x-1) \\\\ y-3 = 4x-4 \\\\ y = 4x-1$

a outra reta tangente interpecta a primeira reta no ponto x = 0, então :

$\sf fazendo \ x =0 : \\\\ y = 4x-1 \\\\ y =4.0 - 1 \\\\ y =-1$

Logo a segunda reta tangente passa pelo ponto (0,-1) e ela é simétrica em relação à primeira reta tangente, ou seja, seu coeficiente angular é simétrico :

$\sf y -(-1) = -4(x-0) \\\\ y+1 = -4x \\\\ \text{Portanto a segunda equa{\c c}{\~a}o da re ta tangente {\'e}}: \\\\ \huge\boxed{\sf \ 4x+y+1 = 0 \ }\checkmark$