Question

Seja a função f(x)= 2X^4 - 4X^2 então:

A) ache o conjunto de domínio e imagem da função f

B) encontre os pontos críticos da f e o intervalos onde a função cresce e decresce

Answer 1

 Boa noite!

Função: $f(x)=2x^4-4x^2$
Derivada 1ª) $f'(x)=8x^3-8x$
Derivada 2ª) $f''(x)=24x^2-8$

a) Domínio: $x\in\mathbb{R}$, pois não há nenhum valor que não possa ser substituído em x.
Imagem: Primeiramente, façamos uma análise da função:

b)
Igualando a derivada 1ª a zero, temos os pontos críticos:
$8x^3-8x=0\\8x(x^2-1)=0\\x=0\\x=1\\x=-1$

Pontos críticos, análise (máximo ou mínimo), pontos de inflexão:
Análise da derivada 2ª:
$f''(0)=24(0)^2-8=-8<0$ Ponto de MÁXIMO
$f''(1)=24(1)^2-8=24-8=16>0$ Ponto de MÍNIMO
$f''(-1)=24(-1)^2-8=24-8=16>0$ Ponto de MÍNIMO

Procurando pontos de inflexão:
$f''(x)=0\\24x^2-8=0\\24x^2=8\\x^2=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}\\x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Dois pontos de inflexão (mudança de concavidade).

Agora, as análises finais:
Análise de crescimento/decrescimento:
$f'(x)<0$ para $x<-1$ função DECRESCENTE
$f'(x)>0$ para $-1<x<0$ função CRESCENTE
$f'(x)<0$ para $0<x<1$ função DECRESCENTE
$f'(x)>0$ para $x>1$ função CRESCENTE

Análise da concavidade:
$f''(x)>0$ para $x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ concavidade para CIMA
$f''(x)<0$ para $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<x<\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ concavidade para BAIXO
$f''(x)>0$ para $x>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ concavidade para CIMA


Agora, sim, podemos ver os pontos de máximo e mínimo.
Máximo, x=0, então$f(0)=0$
Mínimo, x=1 ou x=-1, então:$f(1)=f(-1)=-2$

Então, a imagem será:
$Im=y>=-2$

Espero ter ajudado!