Question

Seja a função
f: R-{1/3} —> R-{1/3}
definida por f(x) = x/3x-1.
Encontrando a lei de formação de sua inversa g=f^-1
concluímos que g(-1)
é igual a:

Answer 1

Resposta:

f( x)=3x-1

para obter a função inversa, troca-se x por y e

y por x,isolando finalmente o y

y = 3x-1

x = 3y - 1

-3y= - 1 - x (-1)

3y= 1 + x

y =(1 + x ) /3 que é f^-1(x).......

Answer 2

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que a função inversa é de $\large \boldsymbol{ \textstyle \sf g(-1) = 0,25 }$.

Dada a função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f: A \to B }$, chamamos de função inversa de $\boldsymbol{ \textstyle \sf f }$, quando existir, a função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f^{-1}: A \to B }$ que associa cada y de B a único elemento x de A tal que $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$.

A função inversa aquela$\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x)^{-1} }$ que faz o oposto do que a função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf f: R -\{1/3\} \to R - \{ 1/3 \} \\ \\ \sf f(x) = \dfrac{x}{3x - 1} \\ \\ \sf g = f^{-1} \\ \sf g (-1) = \:?\ \end{cases}$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x) = \dfrac{x}{3x - 1} } }$

Isolamos x na sentença  $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{x}{3x - 1} } }$

Trocamos x por y e y por x:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{y}{3y - 1} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{y = x \cdot (3y-1) }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y = 3xy - x }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y -3xy = -x }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ y \cdot (1 - 3x) = -x }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-x}{1 - 3x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ f(x) ^{-1} = \dfrac{-x}{1 -3x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ g(x) = f(x) ^{-1} } }$

$\Large\boldsymbol{ \displaystyle \sf g(x) = \dfrac{- x}{1 - 3x} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ g(-1) = \dfrac{-(-1)}{1 - 3 \cdot (-1)} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ g(-1) = \dfrac{1}{1 +3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ g(-1) = \dfrac{1}{4} } }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf g(- 1) = 0,25 }} }$

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