Question

seja a função f em R definida por f(x) = 2x + |x + 1| - |2x - 4|. determinar a função inversa de f.

Answer 1

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Achar a inversa da função

$\mathtt{f(x)=2x+|x+1|-|2x-4|}$


Encontrando os pontos onde a lei de  f  muda de sentença:

$\mathtt{x_1+1=0}\\\\\mathtt{x_1=-1\qquad\quad\checkmark}\\\\\\\mathtt{2x_2-4=0}\\\\\mathtt{2x_2=4}\\\\\mathtt{x_2=2\qquad\quad\checkmark}$


Particionamos o domínio de forma conveniente:

•    Para  x < – 1:

$\mathtt{\Rightarrow\quad|x+1|=-(x+1)\qquad\quad\checkmark}\\\\\mathtt{\Rightarrow\quad x<2 \quad\Rightarrow\quad|2x-4|=-(2x-4)\qquad\quad\checkmark}$


de modo que a lei da função fica

$\mathtt{f(x)=2x+[-(x+1)]-[-(2x-4)]}\\\\\mathtt{f(x)=2x-x-1+2x-4}\\\\\mathtt{f(x)=3x-5\qquad\quad\checkmark}$


•    Para  – 1 ≤ x < 2:

$\mathtt{\Rightarrow\quad x\ge -1\quad\Rightarrow\quad|x+1|=x+1\qquad\quad\checkmark}\\\\\mathtt{\Rightarrow\quad x<2 \quad\Rightarrow\quad|2x-4|=-(2x-4)\qquad\quad\checkmark}$


e a lei da função fica

$\mathtt{f(x)=2x+(x+1)-[-(2x-4)]}\\\\\mathtt{f(x)=2x+x+1+2x-4}\\\\\mathtt{f(x)=5x-3\qquad\quad\checkmark}$


•    Para  x ≥ 2:

$\mathtt{\Rightarrow\quad x\ge -1\quad\Rightarrow\quad |x+1|=x+1\qquad\quad\checkmark}\\\\\mathtt{\Rightarrow\quad|2x-4|=2x-4\qquad\quad\checkmark}$


e a lei da função fica

$\mathtt{f(x)=2x+(x+1)-(2x-4)}\\\\\mathtt{f(x)=2x+x+1-2x+4}\\\\\mathtt{f(x)=x+5\qquad\quad\checkmark}$


Portanto,

$\mathtt{f(x)}=\left\{\!\begin{array}{rl}\mathtt{3x-5,}&\mathtt{\quad para~x<-1}\\\\\mathtt{5x-3,}&\mathtt{\quad para~-1\le x<2}\\\\\mathtt{x+5,}&\mathtt{\quad para~x\ge 2}\end{array}\right.$


Observe que  f  é sempre crescente, pois a lei que a define em cada trecho é sempre uma função do 1º grau com coeficiente angular positivo. Toda função crescente é monótona, e portanto é injetora. Tomando o conjunto imagem de  f  para o seu contradomínio, garantimos então que  f  é invertível.


Encontrando os intervalos correspondentes às imagens de  f  em cada trecho:

•    Para  x < – 1:

A função cresce de  – ∞  até  o valor que  f  assumiria em  x = – 1,  que é

$\mathtt{3\cdot (-1)-5}\\\\=\mathtt{-3-5}\\\\=\mathtt{-8}$


Logo, a imagem de  f  neste trecho é o intervalo  (– ∞, – 8).


•    Para  – 1 ≤ x < 2:

A função cresce de  f(– 1) = – 8  até  o valor que  f  assumiria em  x = 2,  que é

$\mathtt{5\cdot 2-3}\\\\=\mathtt{10-3}\\\\=\mathtt{7}$


Logo, a imagem de  f  neste trecho é o intervalo  [– 8, 7).


•    Para  x ≥ 2:

A função cresce de  f(2) = 7  até  + ∞.  Logo, a imagem de  f  neste trecho é o intervalo  [7, + ∞).


Invertendo  f  em cada trecho:

•    Para  f(x) < – 8:

$\mathtt{f(x)=3x-5}\\\\\mathtt{f(x)+5=3x}\\\\\mathtt{x=\dfrac{f(x)+5}{3}\qquad\checkmark}$


•    Para  – 8 ≤ f(x) < 7:

$\mathtt{f(x)=5x-3}\\\\\mathtt{f(x)+3=5x}\\\\\mathtt{x=\dfrac{f(x)+3}{5}\qquad\checkmark}$


•    Para  f(x) ≥ 7:

$\mathtt{f(x)=x+5}\\\\\mathtt{x=f(x)-5\qquad\quad\checkmark}$


Portanto,

$\mathtt{x}=\left\{\!\begin{array}{rl} \mathtt{\dfrac{f(x)+5}{3}\,,}&\mathtt{\quad para~f(x)<-8}\\\\\mathtt{\dfrac{f(x)+3}{5}\,,}&\mathtt{\quad para~-8\le f(x)<7}\\\\\mathtt{f(x)-5,}&\mathtt{\quad para~f(x)\ge 7}\end{array}\right.$


Expressando em termos da função inversa, trocando  x  por  $\mathsf{f^{-1}(x),}$  finalmente obtemos

$\mathtt{f^{-1}(x)}=\left\{\!\begin{array}{rl}\mathtt{\dfrac{x+5}{3}\,,}&\mathtt{\quad para~x<-8}\\\\\mathtt{\dfrac{x+3}{5}\,,}&\mathtt{\quad para~-8\le x<7}\\\\\mathtt{x-5,}&\mathtt{\quad para~x\ge 7}\end{array}\right.\end{array}$


Bons estudos! :-)