Question

seja a função f de R em R , definida por f(x) = 2x^2-24x+1 o valor mínimo de F é ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danylu, que a resolução é simples.
Pede-se o valor mínimo da função "f", sabendo-se que ela é definida dos Reais nos Reais, da seguinte forma:

f(x) = 2x² - 24x + 1

Agora veja: toda função do 2º grau tem um valor mínimo ou um valor máximo. O valor será mínimo se o termo "a" for positivo (o termo "a" é o coeficiente de x²); e o valor será máximo se o termo "a' for negativo.
No caso da sua questão, como a função é f(x) = 2x² - 24x + 1, então o valor que "f" assumirá será, realmente, um valor mínimo, pois o seu termo "a" é positivo.
Bem, veja que o valor extremo de uma função do 2º grau (ou mínimo ou máximo) SEMPRE será dado pelos coordenadas do vértice (xv; yv).
O "xv", que é a abscissa do vértice, proporciona o valor de "x" que dá o valor extremo para a função (ou mínimo ou máximo).
E o "yv", que é a ordenada do vértice, vai fornecer o próprio valor extremo de "f" (ou mínimo ou máximo).

Bem, após os prolegômenos acima, vamos resolver a sua questão, que é encontrar o valor mínimo da equação dada por:

f(x) = 2x² - 24x + 1.

Como está sendo pedido apenas o valor mínimo da função "f", então vamos diretamente para a fórmula do "y" do vértice (yv), que é esta:

yv = - (Δ)/4a ------- note que Δ = (b²-4ac). Então, substituindo-se, teremos;
yv = - (b²-4ac)/4a

Note também que a equação da sua questão tem os seguintes coeficientes:

a = 2 ------ (é o coeficiente de x²).
b = - 24 --- (é o coeficiente de x).
c = 1 ------- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, substituindo-se os coeficientes acima na fórmula do "yv", que é esta:

yv = - (b²-4ac)/4a  , teremos:

yv = - ((-24)² - 4*2*1) / 4*2
yv = - (576 - 8) / 8
yv = - (568)/8 --- ou apenas:
yv = - 568/8 ----- note que esta divisão dá exatamente "-71". Assim:

yv = - 71 <--- Esta é a resposta. Este é o valor mínimo da função da sua questão.

Bem, se quiser saber qual é a abscissa do vértice (xv), então bastaria aplicar a sua fórmula, que é:

xv = -b/2a ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), temos:
xv = -(-24)/2*2
xv = 24/4
xv = 6 <--- Este é o valor da abscissa do vértice ,que fornece o valor mínimo de "-71" para a função da sua questão. Em outras palavras, se você for na função dada e, nela, substituir o "x" por "6" vai encontrar o valor de f(x) = - 71 (que é o valor mínimo da função e que é dado pela ordenada do vértice (yv), como já vimos antes).
Veja como isso é verdade. Tem-se que a função é esta: f(x) = 2x² - 24x + 1. Então vamos substituir "x" por "6", ficando:

f(6) = 2*6² - 24*6 + 1
f(6) = 2*36 - 24*6 + 1
f(6) = 72 - 144 + 1
f(6) = - 71 <--- Olha aí como é verdade, que o "x" do vértice vai proporcionar o valor mínimo da função, enquanto o "y" do vértice é o próprio valor mínimo assumido pela função.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.