Question

Seja a função definida por (ANEXO) Determine o valor de k para que o limite exista.

Answer 1

Para que um limite exista, os limites laterais devem ser iguais, matematicamente:

$\boxed{ \sf \lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^-}f(x) \to \exists \lim_{x\to a} f(x) }$

A questão nos fornece a seguinte função:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf \sqrt{2x {}^{2} - kx + 1}, \: se \: x > 3 \\ \sf \sqrt{5x + k} , \: se \: x \leqslant 3 \end{cases}$

Aplicando a informação de que os limites laterais devem ser iguais, temos que:

$\sf\lim_{x\to 3^+} \sqrt{2x {}^{2} - kx + 1} = \lim_{x\to 3^-} \sqrt{5x + k}$

• A função que deve ser usada quando x tende a 3 pela direita é aquela que corresponde a valores de x maiores que 3, ou seja, neste caso a função √(2x²-kx+1). Já quando x tende a 3 pela esquerda, a função correspondente é aquela usada para valores de x menores que 3, portanto √(5x+k).

Resolvendo os limites apenas substituindo o valor a qual o x tende:

$\sf\lim_{x\to 3^+} \sqrt{2.(3) {}^{2} - 3k + 1} = \lim_{x\to 3^-} \sqrt{5.3 + k} \\ \\ \sf (\sqrt{18 - 3k + 1} ) {}^{2} = ( \sqrt{15 + k} ) {}^{2} \\ \\ \sf 19 - 3k = 15 + k \\ \\ \sf4k = 4 \\ \\ \boxed{ \sf k = 1}$

Portanto temos que para que o limite exista o valor de k deve ser igual a 1.

Espero ter ajudado