Question

Seja a função de f:R¬R, definida por f(x)=ax²+bx+c, cujos pontos são (-2,0), (2,0) e o vértice(0,4). Indique o item que representa a função acima.

f(x)=-x² +4
f(x)=-2x² +x+4
f(x)= x²+4
f(x)=x²-4
f(x)= 2x²-2x

Answer 1

Uma função $\boldsymbol{ \textstyle \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} }$ chama-se  função quadrática quando existem números reais a, b e c com $\boldsymbol{ \textstyle \sf a \neq 0 }$, tal quer que $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) = ax^{2} +bx + c }$ para todo $\boldsymbol{ \textstyle \sf x \in \mathbb{R} }$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf f(x) = a x^{2} +bx +c \\\sf P_1 \:( \:-2,0\:)\\ \sf P_2\: (\:2,0\:) \\ \sf V\:(\: 0,4\:) \end{cases}$

Para determinar a função que a parábola passam pelos, temos:

Para x = - 2  e f (-2) = 0:

$\displaystyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c$

$\displaystyle \sf f(-2) = a \cdot (-2)^{2} +b \cdot (-2) +c$

$\displaystyle \sf 0 = 4a -2b +c$

$\displaystyle \sf 4a -2b +c = 0 \quad (\:I\:)$

Para x = 0  e f (2) = 0:

$\displaystyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c$

$\displaystyle \sf f( 2 ) = a \cdot2^{2} +2b +c$

$\displaystyle \sf 0 = 4a +2b +c$

$\displaystyle \sf 4a +2b +c = 0 \quad (\: II \:)$

Para x = 0  e f (0) = 4:

$\displaystyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c$

$\displaystyle \sf f(0) = a \cdot 0^{2} +0 \cdot x +c$

$\displaystyle \sf 4 = 0 +0 +c$

$\boldsymbol{ \textstyle \sf C = 4 }$

A equação I e I I, temos um sistema de equação , aplicaremos o método adição.

$\displaystyle \sf \underline{ \begin{cases} \sf 4a -\diagup\!\!\!{ 2b} + c = 0 \\ \sf 4a + \diagup\!\!\!{ 2b} +c = 0 \end{cases}}$

$\displaystyle \sf 8a +2 c = 0$

$\displaystyle \sf 8a +2 \cdot 4 = 0$

$\displaystyle \sf 8a -8 = 0$

$\displaystyle \sf 8a = -8$

$\displaystyle \sf a = -\:\dfrac{8}{8}$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf a = -\; 1 }$

Para determinar o valor de b, basta substituir os valores de a e c na equação.

$\displaystyle \sf 4a +2b + c = 0$

$\displaystyle \sf 4 \cdot (-1) +2b + 4 = 0$

$\displaystyle \sf -\diagup\!\!\!{ 4 }+2b + \diagup\!\!\!{ 4} = 0$

$\displaystyle \sf 2a = 0$

$\displaystyle \sf a = \dfrac{0}{2}$

$\boldsymbol{ \displaystyle \sf b = 0}$

Lei de formação da função quadrática:

$\displaystyle \sf f(x) = ax^{2} +bx +c$

$\displaystyle \sf f(x) = -\; 1 \cdot x^{2} +0 \cdot x + 4$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{ \displaystyle \sf f(x) = -\: x^{2} + 4 }}}$

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