Question

Seja a função dada por f(x, y) = x² + y². Determine quais são as curvas de nível para z = 1, z = 2 e z = 4.

Answer 1

z = x² + y ² 

k = x² + y² ⇒ se k = 0 temos o a origem (0,0) como "curva de nível";

z = 1 → círculo de raio 1 → curva de nível 1

z = 2 → círculo de raio = √2 → curva de nível 2

z = 4 → círculo de raio = √4 = 2 → curva de nível 4

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04/03/2016
Sepauto - SSRC 
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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as curvas de níveis da referida função polinomial em duas variáveis para z = 1, z = 2 e z = 4, são, respectivamente:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n_{1}: x^{2} + y^{2} = 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n_{2}: x^{2} + y^{2} = 2\:\:\:}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n_{4}: x^{2} + y^{2} = 4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

              $\Large\begin{cases} f(x, y) = x^{2} + y^{2}\\n_{1} = \:?\\n_{2} = \:?\\n_{4} = \:?\end{cases}$

Curvas de níveis nada mais são do que projeções no plano "xy" das interseções da superfície com cada um dos planos paralelos z = k.

Para calcular uma determinada curva de nível basta utilizarmos a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = k,\:\:\:\forall k \in\mathbb{R}\end{gathered}$

Onde "k" é a constante, ou seja, a cota do espaço tridimensional.

Com essas informações em mãos, podemos:

• Calcular a curva de nível da função para z = 1.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 1\end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} = 1\end{gathered}$

       Portanto, a curva de nível para z = 1 é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n_{1}: x^{2} + y^{2} = 1\end{gathered}$  

• Calcular a curva de nível da função para z = 2.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 2\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} = 2\end{gathered}$

        Portanto, a curva de nível para z = 2 é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n_{2}: x^{2} + y^{2} = 2\end{gathered}$

• Calcular a curva de nível da função para z = 4.

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x, y) = 4\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + y^{2} = 4\end{gathered}$

        Portanto, a curva de nível para z = 4 é:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} n_{4}: x^{2} + y^{2} = 4\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$