Question

Seja a função bijetiva f:R − {2} → R − {1} definida por

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre funções inversas.

Seja a função bijetiva $f:\mathbb{R}-\{2\}\rightarrow\mathbb{R}-\{1\}$ definida por: $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$. Devemos determinar a inversa desta função.

Substitua $x$ por $y=f^{-1}(x)$, de modo que:

$x= \dfrac{y+1}{y-2}$

Multiplique ambos os lados da equação por $y-2,~y\neq2$

$x\cdot(y-2)=y+1$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$xy-2x=y+1$

Subtraia $y$ em ambos os lados da equação

$xy-2x-y=1$

Fatore a expressão utilizando $y$ como fator comum em evidência.

$y\cdot(x-1)-2x=1$

Some $2x$ em ambos os lados da equação

$y\cdot(x-1)=1+2x$

Divida ambos os lados da equação por $x-1,~x\neq1$

$y=\dfrac{1+2x}{x-1}$

Esta é a função inversa de $f(x)$.