Question

seja a equação x³ + 2x² + mx - 6 = 0 em que m é uma constante real. sabendo que -3 é a raiz dessa equação, determine:
o valor de m;
as demais raízes da equação

Answer 1

Se -3 é raiz da equação, se dividirmos ela por x + 3 teremos resto 0.

Vou resolver por Briot-Ruffini:

1    2    m       -6       -3
1   -1   3+m   -15-3m

Como o resto é 0:
-15 - 3m = 0
-15 = 3m
m = -15/3
m = -5

Agora note que dividimos um polinômio do terceiro grau por um polinômio do primeiro grau, logo a resposta será um polinômio do segundo grau

Pegando o resultado:
1   -1   3+m          m = -5:
1   -1   -2  <<< x² - x - 1 

Então agora basta achar as raízes, vou usar bhaskara:
x²- x - 2 = 0 

Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.-2
Δ = 1 + 8
Δ = 9

x = -b +/- √Δ  /2a
x = -(-1) +/- √9 /2.1
x = 1 +/- 3   /2

x1 = 1 + 3 /2 = 4/2 = 2
x2 = 1 - 3 /2 = -2/2 = -1

Então o valor de m é -5 e as raízes dessa equação do terceiro grau são: -3,-1 e 2.

Bons estudos

Answer 2

Substituindo o valor da raiz na equação, temos:
$(-3)^{3} + 2. (-3) + m. (-3) -6 = 0 \\ -27 + 18 -3 .m -6 = 0 \\ -3m = 15 \\ m = - 5$
A fim de acharmos as outras raízes, agora, é necessário aplicar o dispositivo de Briot Ruffini: 
1 2 -5 -6 / -3

1 -1 -2 0 
Com isso, temos a equação de segundo grau: 

x^{2}  -x - 2 = 0

Logo, as raízes da equação são:

{-3, -1, 2}