Question

Seja a equação x² + 121 = 0, no conjunto Universo U = R, onde R é

o conjunto dos números reais. Sobre as sentenças:

I. A soma das raízes dessa equação é zero.

II. O produto das raízes dessa equação é 4.

III. O conjunto solução dessa equação é {– 11, 11}.

é verdade que:

a) Somente a I é falsa.

b) Somente a II é verdadeira.

c) Somente a III é falsa.

d) todas são verdadeiras.

e) todas são falsas.​

Answer 1

⠀⠀Sobre as sentenças dadas sobre a equação proposta, podemos afirmar que são todas falsas. Logo a alternativa e) é a correta.

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Considerações iniciais

⠀⠀Foi nos dado a equação do 2º grau incompleta do tipo b = 0 abaixo:

                                              $\qquad\LARGE\boldsymbol{\begin{array}{l}x^2+121=0\end{array}}$

⠀⠀A questão nos diz que essa igualdade faz parte do universo dos números reais, U = ℝ. Isso significa que ela só admite valores reais para x, e caso contrário, se ela não admitir, o conjunto solução será vazio — que é um conjunto onde não existe algum valor, e nesse caso, para x. Essa informação é de vital importância, pois é com isso que encontraremos a resposta correta dessa questão. A princípio, vamos seguir resolvendo essa igualdade de forma prática a fim de obter suas raízes. Para isso basta isolar a variável e extrair a raiz quadrada de ambos os membros:

                                        $\quad\Large\begin{array}{c}x^2+121=0\\\\x^2+121-121=0-121\\\\x^2=-\,121\\\\\sqrt{x^2}=\sqrt{-\,121}\\\\|x|=\sqrt{-\,121}\\\\x=\pm~\sqrt{-\,121}~\Rightarrow~x\notin\mathbb{R}\end{array}$

⠀⠀Veja que o resultado encontrado não é possível, pois não existe número(s) real(is) elevado(s) à segunda potência que resulte(m) num número negativo. Essa equação teria solução se pertencesse ao universo dos números complexos, U = ℂ, pois um número complexo é definido por z = a + bi, onde a: parte real e b: parte imaginária, sendo que $i=\sqrt{-\,1}$, logo teríamos

        $\begin{array}{l}x=\pm~\sqrt{-\,121}~\Leftrightarrow~x=\pm~\sqrt{\,121}\cdot\sqrt{-\,1}~\Leftrightarrow~x=\pm~11\cdot i~\Leftrightarrow~x=\pm~11i\end{array}$

, e assim essa igualdade teria como solução dois números imaginários puros: S = {– 11i ; 11i}. Contudo, como essa equação pertence ao universo dos números reais, sabemos que ela não possui valores para x (por isso saber o universo em que ela pertence é importantíssimo), logo seu conjunto solução é vazio: S = ∅.

Considerações finais

⠀⠀Analisando as sentenças podemos afirmar que todas são falsas:

⠀⠀I. A soma das raízes é zero. FALSA, pois não há raízes reais nessa equação, então não há a soma delas;

⠀⠀II. O produto das raízes é 4. FALSA, pelo fato de não possuir raízes reais, não existe o produto delas;

⠀⠀III. O conjunto solução é S = {– 11 ; 11}. FALSA, pois o conjunto solução é vazio.

⠀⠀Conclui-se, portanto, que a alternativa e) todas são falsas responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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Answer 2

$x^2+121=0\\\\\mathrm{Subtrair\:}121\mathrm{\:de\:ambos\:os\:lados}\\\\x^2+121-121=0-121\\\\\mathrm{Simplificar}\\\\x^2=-121\\\\\mathrm{Para\:}x^2=f\left(a\right)\mathrm{\:as\:solucoes\:sao\:}x=\sqrt{f\left(a\right)},\:\:-\sqrt{f\left(a\right)}\\\\x=\sqrt{-121}$

x = ± = x = ∉ ℝ

I. A soma das raízes dessa equação é zero.(falsa)

II. O produto das raízes dessa equação é 4.(falsa)

III. O conjunto solução dessa equação é {– 11, 11}.(falsa)  

Fazendo assim: letra e) todas são falsas.​