Question

Seja a equação n² - 7m² = (5m - 2n)² + 49. Determine todos os pares inteiros (m, n) que satisfazem a esta equação.

Por favor me ajudem!!! Preciso dessa para terminar o trabalho!

Answer 1

n² - 7m² = 25m² - 20mn + 4n² + 49
-32m² -3n² + 20mn - 49 = 0
32m² -20nm + 3n² + 49 = 0
Δ = (-20n)² - 4.32(3n² + 49)
Δ = 400n² - 384n² - 6272
Δ =16n² - 6272
Δ = 16( n² - 392)

n = [20n - 4√(n² - 392)] /64 => n = 4[5n - √(n² - 392)]64 =>

n = [5n -√(n² - 392)]/16  ou n =  [20n + 4√(n² - 392)]/64 =>
n = 4[5n + √(n² - 392)]/64 => n = [5n + √[n² - 392)]/16

Para que exista n inteiros e m inteiros, devemos ter:
n² - 392 ≥ 0 => n² - 392 = m² => n² - m² = 392
392 | 2
196 | 2
  98 | 2
  49 | 7
    7 | 7
     1
n² - m² = 392
(n-m)(n+m) = 1 x 392
(n-m)(n+m) = 2 x 196
(n-m)(n+m) = 4 x 98
(n-m)(n+m) = 8 x 49
(n-m)(n+m) = 7 x 56
(n-m)(n+m) = 14 x 28
Fazendo:
1) n-m = 1 e n+m = 392 = n = 196,5 ( não serve , pois n é inteiro)
2) n-m = 2 e n+m= 196 => 2n = 198 => n = 99  e m = 97
3) n-m = 4 e n+m = 98 => 2n = 102 => n = 51 e m = 47
4) n-m = 7 e n+m = 56 => 2n = 63 > n = 31,5 (não serve)
n-m= 14 e n+m = 28 => 2n = 42 => n = 21 e m = 7
Como m e n são inteiros:

m = -97 e n =-99 => (-97, -99)
m = -47 e n = -51 => (-47, -51)
m = -7 e n = -21 => ( -7, -21)
m = 97 e n = 99 => ( 97, 99)
m = 47 e n = 51 => (47, 51)
m = 7 e n = 21  => (7, 21)