Matemática, perguntado por drgdm, 6 meses atrás

–Seja a equação do 2º grau x² - 6x + 10 = 0 no conjunto C, onde C é o conjunto dos números complexos . Faça os cálculos e analise as sentenças:
I. A soma das raízes dessa equação é 6.
II. O produto das raízes dessa equação é 9.
III. O conjunto solução dessa equação é {3 + i, 3 - i}
É verdade que:
a) somente a I é falsa.
b) somente a II é falsa.
c) somente a III é falsa.
d) todas são verdadeiras.
e) todas são falsas.

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todo os cálculos referente à referida equação quadrática definida de "C" em "C", concluímos que a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:B\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Seja a equação do segundo grau:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{2} - 6x + 10 = 0\\\end{gathered}$}$

Sabendo que esta equação foi originada a partir da seguinte função quadrática:

$\Large \text {$\begin{aligned}f: &\: \mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{C}\\ x \mapsto f(x) :&\: f(x) = x^{2} - 6x + 10\end{aligned} $}$

Cujos coeficientes são:

$\Large\begin{cases} a = 1\\b = -6\\c = 10\end{cases}$

Sabendo que pelas relações de Girard temos as seguintes fórmula para representar respectivamente soma e produto das raízes:

$\LARGE\begin{cases} x' + x'' = -\frac{b}{a} = -\frac{(-6)}{1} = 6\\x'\cdot x'' = \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10\end{cases}$

Portanto:

$\Large\begin{cases} x' + x'' = 6\\x'\cdot x'' = 10\end{cases}$

Para obtermos as raízes da referida equação, devemos fazer:

$\Large \text {$\begin{aligned}x & = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\\& = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}\\& = \frac{6\pm\sqrt{36 - 40}}{2}\\& = \frac{6\pm\sqrt{-4}}{2}\\& = \frac{6\pm2i}{2}\\& = 3\pm i\end{aligned} $}$

Portanto, as raízes da referida equação pertencem ao seguinte conjunto solução:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{3 + i,\,3 - i\}\end{gathered}$}$

Desta forma, podemos afirmar quanto às sentenças:

$\Large\begin{cases} {\bf I} \Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\\{\bf II}\Longrightarrow \textrm{Falsa}\\{\bf III}\Longrightarrow \textrm{Verdadeira}\end{cases}$

✅ Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Alternativa\:B\end{gathered}$}$

Observação: Veja o gráfico da função do segundo grau no plano cartesiano sobreposto ao plano de Argand Gauss, evidenciando a interpretação geométrica das raízes complexas da referida função.

$\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}$