Question

Seja a equação diferencial 2xy^2+4 = (6-2x^2y)y' e y(-1) = 8 , assinale a alternativa que contenha o valor da constante C.
Alternativas
Alternativa 1: C = 2.
Alternativa 2: C = 8.
Alternativa 3: C = 12.
Alternativa 4: C = 21.
Alternativa 5: C = 24.

Answer 1

Começamos por reescrever a equação na forma:

$2xy^2+4 = (6-2x^2y)y' \iff 2xy^2 + 4 + (2x^2y-6)y' = 0.$

Definimos agora as funções $M,N:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ dadas por:

$M(x,y) = 2xy^2+4\quad\textrm{e}\quad N(x,y) = 2x^2y-6.$

Notamos agora que:

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left(2xy^2+4\right) = 4xy,$

enquanto

$\dfrac{\partial N}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\left(2x^2y-6\right) = 4xy,$

ou seja:

$\dfrac{\partial M}{\partial y} = \dfrac{\partial N}{\partial x} \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2.$

Nestas condições, diz-se então que a equação diferencial apresentada é exata. Isto significa que existe um potencial $\Phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial x} = M(x,y)\quad\textrm{e}\quad\dfrac{\partial\Phi}{\partial y} = N(x,y),$

e que verifica ainda $\Phi(x,y) = c \in\mathbb{R}$ para cada solução $y$.

Começamos por descobrir o potencial integrando $M$ em ordem a $x$:

$\Phi(x,y) = \displaystyle\int M(x,y) \textrm{ d}x = \int \left(2xy^2+4\right) \textrm{ d}x = x^2y^2 + 4x + g(y),$

sendo $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função diferenciável de $y$. Derivando $\Phi$ em ordem a $y$, deveremos recuperar a função $N$:

$\dfrac{\partial\Phi}{\partial y} = N(x,y) \iff 2x^2y + g'(y) = 2x^2y-6 \iff g'(y) = -6.$

Integramos agora $g'$ em ordem a $y$ para obter:

$g(y) = \displaystyle \int g'(y)\textrm{ d}y = \int (-6)\textrm{ d}y = -6y + k,$

com $k\in\mathbb{R}$. Obtemos finalmente o potencial:

$\Phi(x,y) = x^2y^2 + 4x - 6y + k.$

Como esta função é constante para cada solução da equação diferencial, escrevemos:

$\Phi(x,y) = c \iff x^2y^2 + 4x - 6y + k = c \iff x^2y^2 + 4x - 6y = C,$

onde se definiu a constante $C \equiv c - k \in\mathbb{R}$.

Substituindo agora a condição inicial $y(-1)=8$, podemos determinar o valor de $C$ adequado:

$(-1)^2 \times 8^2 + 4\times(-1) - 6\times 8 = C \iff C = 64 - 4 - 48 = 12.$

Resposta: Alternativa 3 → $C = 12$.