Question

seja a equação de segundo grau
${x}^{2} + 2mx + {m}^{2} - 2m + 3 = 0$
cujas raízes são a e b. com a < b

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Para a equação dada temos que:

$a=1\\b=2m\\c=m^2-2m+3$

Sabemos também que

$\alpha\\\beta$

são as raízes, logo teremos:

$\alpha + \beta =\frac{-b}{a}=\frac{-(2m)}{1} = -2m\\ \alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{m^2 -2m+3}{1}=m^2 -2m+3$

Queremos:

$(\alpha-\beta )^2= \alpha ^2-2.\alpha\beta +\beta^2 = \alpha ^2 +\beta^2-2.\alpha \beta$ (1)

Mas se tomarmos: $\alpha + \beta = -2m$, vamos elevar ao quadrado ambos os lados, daí:

$(\alpha + \beta)^2 = (-2m)^2\\ \alpha^2 +2.\alpha.\beta +\beta^2= 4m^2\\ \alpha^2 +\beta^2= 4m^2-2.\alpha.\beta$

Substituindo esse resultado na equação (1), temos:

$(\alpha - \beta )^2 = \alpha ^2 +\beta^2-2.\alpha \beta\\\\(\alpha - \beta )^2 = 4m^2-2.\alpha \beta-2.\alpha \beta = 4m^2-4.\alpha \beta$

Mas $\alpha \beta = m^2 -2m+3$

Daí,

$(\alpha - \beta )^2 = 4m^2-4.\alpha \beta\\(\alpha - \beta )^2 = 4m^2-4.(m^2-2m+3)=4m^2-4m^2+8m-12=8m-12=4(2m-3)$

Para saber o valor de m, faremos:

$(\alpha - \beta )^2 = 8m-12\\(-(\beta -\alpha ))^2 = 8m-12\\(-6)^2 =8m -12\\36=8m-12\\8m =36+12\\8m =48\\m = 6$

Bons estudos!!!

Answer 2

Da equação:

$x^2 + 2mx + m^2 - 2m + 3 = 0$

Sabemos que:

$a = 1;\\b = 2m;\\c = m^2 - 2m + 3$

Sabemos que α e β são as raízes desta equação quadrática, e podemos encontrá-las com a "Fórmula de Bhaskara":

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}\\x = \frac{-2m \pm \sqrt{(2m)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (m^2 -2m + 3)} }{2 \cdot 1}\\x = \frac{-2m \pm \sqrt{4m^2 - 4m^2 + 8m - 12} }{2}\\x = \frac{-2m \pm \sqrt{8m - 12} }{2}\\\\\alpha = \frac{-2m + \sqrt{8m - 12} }{2}\\\beta = \frac{-2m - \sqrt{8m - 12} }{2}$

Então, fazendo (α - β)², temos:

$(\alpha - \beta)^2 = (\frac{-2m + \sqrt{8m - 12} }{2} - (\frac{-2m - \sqrt{8m - 12} }{2}))^2\\(\alpha - \beta)^2 = (\frac{-2m + \sqrt{8m - 12} }{2} + \frac{2m + \sqrt{8m - 12} }{2})^2\\(\alpha - \beta)^2 = (\frac{2\sqrt{8m-12} }{2} )^2\\(\alpha - \beta)^2 = 8m - 12 = 4 \cdot (2m - 3)$

Seguindo a mesma lógica, fazendo β - α = 6, temos:

$\beta - \alpha = 6 = \frac{-2m - \sqrt{8m - 12} }{2} - (\frac{-2m + \sqrt{8m - 12} }{2})\\6 = \frac{-2m - \sqrt{8m - 12} }{2} + \frac{2m - \sqrt{8m - 12} }{2}\\6 = \frac{-2\sqrt{8m-12}}{2}\\6 = -\sqrt{8m-12}\\6^2 = (-\sqrt{8m-12})^2\\36 = 8m - 12\\m = \frac{36+12}{8}\\m = 6$

As respostas encontradas estão de acordo com o gabarito fornecido.

Espero ter ajudado.