Question

Seja a equação da reta _r_: y=ax+b, a qual possui coeficiente angular *a* e coeficiente linear *b*, em um plano cartesiano comum. Sejam os pontos *P*, *A*, *B*, e *C* pertencentes a essa reta, nesta ordem. O ponto *O* indica a origem. O ponto *P* pertence ao segundo quadrante, o ponto *A* pertence ao eixo vertical, o ponto *B* pertence ao primeiro quadrante, e o ponto *D* pertence ao eixo horizontal. Sabem-se que a distância de *A* até *B* é 2 u.c. e que a distância de *A* até *C* é 5 u.c.. Se o ângulo *PÂO*=150°, então qual é a coordenada de *B*?
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Answer 1

O ponto B possui coordenada $(1,\frac{3\sqrt{3}}{2})$

O primeiro passo consiste em desenhar a figura pedida. A e D pertencem aos eixos (são a interceptação da reta com os eixos cartesianos). Logo, a reta não é paralela a nenhum dos eixos .

B pertence ao primeiro quadrante e P ao segundo quadrante. Esta informação (sozinha) não ajuda a determinar nada.

O ângulo PAO tem medida igual a 150 graus.

Podemos então fazer o primeiro esboço da figura (ver fig-1)

Observe que 150+30=180.

Isto nos permite encontrar o ângulo OAB, como visto na figura fig-2.

Observamos então um triângulo com ângulos iguais a 30, 90 e 60 graus (60 foi obtido pela relação soma dos ângulos internos de um triangulo ser 180 graus).

Lembrando que $sin(30)=\dfrac{1}{2}$ e $cos(30)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ podemos encontrar as medidas dos triângulos que estudaremos.

Comecemos pelo triângulo OAD.

A distância de A até D é 5.

Isto é a hipotenusa.

Temos que a distância de O até D é $5sin(30)=\dfrac{5}{2}$

Temos que a distância de O até A é $5cos(30)=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

Não sabemos as coordenadas de B, mas sabemos que a distância de A até B tem medida 2.

Observe a figura fig-3 onde criamos um ponto auxiliar E (que vai ajudar na explicação, mas não afeta as contas)

Temos que a distância de E até B é $2sin(30)=\dfrac{2}{2}=1$ Isto nos ad a coordenada x de B

Temos que a distância de E até A é $2cos(30)=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt3$

Para encontrar a coordenada y de B basta fazer OA-EA = $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-\dfrac{2\sqr{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$