Question

seja A e B eventos associados a um experimento aleatório,suponha que P ( A )=0,6 p (A U B)= 0,3 e p ( B )= p Determine p para que A e B sejam mutualmente exclusivos (0)

Answer 1

Do 3.º axioma da probabilidade, sabemos que se $A$ e $B$ forem conjuntos disjuntos (isto é, são eventos mutuamente exclusivos: $A \cap B = \emptyset$), então a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

Por outro lado, do 1.º axioma, a probabilidade de qualquer evento é não-negativa. Em particular, temos:

$P(B) \geq 0.$

Portanto, temos:

$P(A \cup B) = P(A) + \underbrace{P(B)}_{\geq 0} \geq P(A),$

pelo que fica provado que a probabilidade da união $A \cup B$ é sempre maior ou igual do que a probabilidade de $A$. Portanto, os valores fornecidos $P(A \cup B) = 0.3$ e $P(A) = 0.6$ são impossíveis.

Supondo então que houve um erro na transcrição, tomarei $P(A \cup B) = 0.6$ e $P(A) = 0.3$. Nesse caso, temos:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \iff 0.6 = 0.3 + P(B) \iff P(B) = 0.6 - 0.3 = 0.3.$