Question

Seja a curva, denominada Fólio de Descartes e que tem como equação: 3y³ - 3x³ + 3xy = 0. Encontre a expressão derivada dy/dx à curva no ponto P (2, - 1), que determina o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto.

Answer 1

Boa noite Carossi!

Solução!

Seja a funcao!

$[3f(x)]^{3}-3 x^{3}+3xy=0~~ \Rightarrow~~~3y^{3} -3 x^{3}+3xy=0\\\\\\ Satisfaz~~para~~todo~~x~~do~~dominio.\\\\\\ Para~~derivar~~a~~funcao~~em ~~relacao~~a~~x~~sabendo~~que~~y=f(x)$


$3y^{3} -3 x^{3}+3xy=0\\\\\\ 3y^{3} -3 x^{3}=-3xy\\\\\\ 3.3.y^{2}y'-3.3 x^{2} =-3(xy'+y)\\\\\\ 9y^{2}y'-9 x^{2} =(-3xy'-3y)\\\\\\ 9y^{2}y'+3xy'=9 x^{2}-3y\\\\\\ y'(9y^{2}+3x)=9 x^{2}-3y\\\\\\ y'= \dfrac{9 x^{2}-3y}{9y^{2}+3x}$



Simplificando!

$y'= \dfrac{3(3 x^{2}-y)}{3(3y^{2}+x)} \\\\\\\\\ y'= \dfrac{(3 x^{2}-y)}{(3y^{2}+x)} \\\\\\\\\\ \boxed{Resposta:3y^{3} -3 x^{3}+3xy=0 \Rightarrow~~y'= \dfrac{3 x^{2}-y}{3y^{2}+x}}$

Boa noite!
Bons estudos!