Question

Seja a área da elipse dada pela equação 2 x ao quadrado mais y ao quadrado igual a 2. Então, é correto afirmar que:

Answer 1

Utilizando integral, temos que, a área da elipse é $A = \sqrt{2} \pi$, alternativa b.

Calculo de áreas utilizando integrais

Dada uma função f(x) contínua e integrável em um intervalo [a, b], a área entre o gráfico de f(x) e o eixo x é dada pela integral de f(x) com os limites de integração inicial e final iguais a a e b, respectivamente.

Vamos escrever a parte superior da elipse como uma função f(x):

$2x^2 + y^2 = 2\\f(x) = y = \sqrt{2 - 2x^2}$

Como a intersecção dessa elipse com o eixo x ocorre nos pontos (-1, 0) e (1, 0), temos que os limites de integração inicial e final iguais a -1 e 1, respectivamente, logo:

$\int_{-1}^1 \sqrt{2 - 2x^2} dx = \\\sqrt{2} \int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{2} \cdot [1/2 (arcsen(x) + 1/2 (sen(2 arcsen(x))))]_{-1}^1 = \sqrt{2} \pi/2$

Como a elipse é simétrica, temos que, a área total é 2 vezes o resultado obtido, ou seja:

$A = 2 \cdot \sqrt{2} \pi /2 = \sqrt{2} \pi$

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Answer 2

Resposta:

alternativa B

= raíz de 2 pi

Explicação passo a passo:

conferido