Question

Seja A=[aij] a matriz quadrada de ordem 2, definida por $Aij= \left \{ {{i^2 , se i=j} \atop {i-j , se i \neq j}} \right.$



(a) Determine a matriz A:

(b) Determine det A:

(c) Determine a inversa da matiz A:

(d) Determine a transposta da inversa de A:

Answer 1

Oi Laura.

Vamos primeiramente montar a Matriz genérica de ordem 2.

$\left[\begin{array}{ccc}a11&a12\\a21&a22\end{array}\right]$

Ele diz que,  seo i(linha) for igual ao j(coluna) nós teremos que elevar o i(linha) ao quadrado.
E o exercício também diz que se o i for diferente do j, teremos uma diferença, ou seja, uma subtração entre i-j.

a11= linha igual coluna, então: i²=1²=1
a12= linha diferente de coluna, então: i-j=1-2=-1
a21= linha diferente de coluna, então: i-j=2-1=1
a22=linha igual coluna, então: i²=2²=4

Agora é só montar essa Matriz que a letra A estará resolvida.

$\left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&4\end{array}\right]$

A letra A está pronta agora vamos resolver as outras.

A letra B quer o determinante dessa Matriz, então basta fazer o produto da diagonal principal menos o da diagonal secundária.

$detA=4-(-1)\\ detA=5$

Letra B resolvida.
Agora vamos achar a letra C.

Ele quer a inversa da Matriz A, então primeiramente, basta inverter o valores da diagonal principal e trocar de sinal os da diagonal secundária. Feito isso, é só dividir todos os termos pelo determinante de A.

$A^-^1= \left[\begin{array}{cc}4&1\\-1&1\end{array}\right] \\ \\ \\ A^-^1= \left[\begin{array}{cc} \frac{4}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right]$

Essa é a Matriz inversa. Então a letra C foi feita.

Agora ele quer a transposta da Inversa de A, para achar a transposta basta trocar linhas por colunas.

$A^-^1^t= \left[\begin{array}{cc} \frac{4}{5} & \frac{1}{5} \\ \frac{-1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right] \\ \\ \\ A^-^1^t= \left[\begin{array}{cc} \frac{4}{5} &\frac{-1}{5} \\\frac{1}{5} &\frac{1}{5} \end{array}\right]$

Pronto, essa é a letra D.