Question

Seja A = (aij) 3x3,em que aij = (i+j)². Obtenha o valor da determinante de A

Answer 1

Nesta questão o objetivo é construir uma matriz A = (aij) 3x3, aplicando a lei de formação fornecida, e por fim calcular o determinante

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Em uma matriz A do tipo 3x3 (três linhas e três colunas) se encontra na forma:

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf a_{11}&\sf a_{12}&\sf a_{13}\\\sf a_{21}&\sf a_{22}&\sf a_{23}\\\sf a_{31}&\sf a_{32}&\sf a_{33}\end{bmatrix}$

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Obs.: os elementos da matriz são dados por $\sf ~a_{ij}~$ => i = linha e j coluna. Assim, por exemplo:

$~~~\bullet~~~\sf a_{12}$ => linha 1, coluna 2

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Tendo a lei de formação $~\sf a_{ij}=(i+j)^2~$:

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf (1+1)^2&\sf (1+2)^2&\sf (1+3)^2\\\sf (2+1)^2&\sf (2+2)^2&\sf (2+3)^2\\\sf (3+1)^2&\sf (3+2)^2&\sf (3+3)^2\end{bmatrix}$

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf 2^2&\sf 3^2&\sf 4^2\\\sf 3^2&\sf 4^2&\sf 5^2\\\sf 4^2&\sf 5^2&\sf 6^2\end{bmatrix}$

$\sf A=\begin{bmatrix}\sf 4&\sf 9&\sf 16\\\sf 9&\sf 16&\sf 25\\\sf 16&\sf 25&\sf 36\end{bmatrix}$

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Encontrado nossa matriz A, agora vamos calcular o determinante que também foi pedido

• Pela Regra de Sarrus: repita as duas colunas iniciais ao lado da matriz, multiplique a diagonal principal e subtraia da diagonal secundária

$\sf Det~(A)=\begin{vmatrix}\sf 4&\sf 9&\sf 16\\\sf 9&\sf 16&\sf 25\\\sf 16&\sf 25&\sf 36\end{vmatrix}\begin{matrix}\sf 4&\sf 9\\\sf 9&\sf 16\\\sf 16&\sf 25\end{matrix}$

$\sf Det~(A)=4.16.36+9.25.16+16.9.25-(16.16.16+4.25.25+9.9.36)$

$\sf Det~(A)=2304+3600+3600-(4096+2500+2916)$

$\sf Det~(A)=9504-9512$

$\boxed{\sf Det~(A)=-8}$

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Resposta: o determinante da matriz A é – 8

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Att. Nasgovaskov

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