Question

Seja A = {18, 7, 15, X, 2} um conjunto de cinco números naturais distintos.
Quantos números naturais, ao todo, poderiam substituir X, de forma
que o MMC dos cinco números desse conjunto A fosse igual a 5040?

Answer 1

Fatorando os números, temos:
18 = 2.3²
7 = 7
15 = 3.5
2 = 2

Se considerássemos o MMC apenas entre os números supracitados, teríamos:
MMC (18, 7, 15, 2) = 2.3².5.7 = 630

Para que o MMC seja 5040, precisamos de um fator 5040/630 = 8 = 2³.

Como para o cálculo do MMC usamos os fatores primos com maior expoente, o número X pode ter as seguintes configurações:

$X = 2^{s}.3^{n}.5^{m}.7^{p}$

Vimos que:
s = 3 (precisamos do fator 2³), logo 1 opção apenas para s;
n = 0, 1 ou 2, logo 3 opções para n;
m = 0 ou 1, logo 2 opções para m;
p = 0 ou 1, logo 2 opções para p;

O número total de opções é:
1.3.2.2 = 12 números naturais podem substituir X.